Autor Tema: Diferenciabilidad en el (0,0)

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01 Marzo, 2018, 07:17 pm
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crisnodo

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Hola, me gustaría saber por qué esta función no es diferenciable en el punto (0,0).
\( F(z)=|x^2 - y^2 |+2i|y| \)
Gracias por adelantado.

01 Marzo, 2018, 07:31 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Bienvenida al foro.
Hola, me gustaría saber por qué esta función no es diferenciable en el punto (0,0).
\( F(z)=|x^2 - y^2 |+2i|y| \)
Gracias por adelantado.

Para que \( f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y) \) sea diferenciable en un punto deben de existir las parciales \( u_x,u_y,v_x,v_y \) en tal punto y cumplir las ecuaciones de Cauchy Riemann.

En tu caso para \( v(x,y)=2|y| \) no existe la parcial con respecto a \( y \) en cero.

Saludos.

01 Marzo, 2018, 07:44 pm
Respuesta #2

crisnodo

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Muchas gracias Luis Fuentes
Pero otra duda, parece que me faltó una x  :-\  no he puesto el enunciado bien.
\( F(z)=|x^2 - y^2 |+2i|\color{red}xy| \)
Saludos.

01 Marzo, 2018, 08:02 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias Luis Fuentes
Pero otra duda, parece que me faltó una x  :-\  no he puesto el enunciado bien.
\( F(z)=|x^2 - y^2 |+2i|\color{red}xy| \)
Saludos.

Es que ahora si es diferenciable en cero. Su derivada es cero. Lo puedes comprobar por la definición:

\( \displaystyle\lim_{z\to 0}\dfrac{f(z)}{z}=0 \)

Ya que:

\( \dfrac{f(z)}{z}=\dfrac{f(z)}{|z|^2}\bar z=\dfrac{|x^2-y^2|+2i|xy|}{x^2+y^2}\bar z \)

la fracción está acotada porque \( |x|,|y|\leq \sqrt{x^2+y^2} \) y el límite de \( \bar z \) es cero.

Saludos.

03 Marzo, 2018, 11:29 am
Respuesta #4

crisnodo

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Hola

Es que ahora si es diferenciable en cero. Su derivada es cero. Lo puedes comprobar por la definición:

\( \displaystyle\lim_{z\to 0}\dfrac{f(z)}{z}=0 \)

Ya que:

\( \dfrac{f(z)}{z}=\dfrac{f(z)}{|z|^2}\bar z=\dfrac{|x^2-y^2|+2i|xy|}{x^2+y^2}\bar z \)

la fracción está acotada porque \( |x|,|y|\leq \sqrt{x^2+y^2} \) y el límite de \( \bar z \) es cero.

Saludos.

Hola de nuevo Luis Fuentes,muchas gracias por contestar.
Yo lo veía por intuición que es diferenciable en el (0,0),pero el ejercicio me pide demostrar que no hay diferenciabilidad en ese punto.
Y si me puedes explicar por qué la acotamos así.
Muchas gracias.
Saludos.

03 Marzo, 2018, 02:07 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Y si me puedes explicar por qué la acotamos así.

No estoy seguro de lo que quieres que te explique.

La acotamos así porque no es útil para llegar a probar que el límite del cociente que estamos estudiando es cero; no es la única forma de resolverlo. Quizá otra persona acote de otra manera o use otro argumento.

Una vez matizado esto, si lo que te re refieres es a que no entiendes la acotación, ¿exactamente qué parte de la misma no entiendes?.

Nota que:

\( \||x^2-y^2|+2i|xy|\|\leq |x^2|+|y^2|+2|xy|\leq x^2+y^2+2\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2}=3(x^2+y^2) \)

Saludos.

03 Marzo, 2018, 04:34 pm
Respuesta #6

crisnodo

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Hola

Y si me puedes explicar por qué la acotamos así.

No estoy seguro de lo que quieres que te explique.

La acotamos así porque no es útil para llegar a probar que el límite del cociente que estamos estudiando es cero; no es la única forma de resolverlo. Quizá otra persona acote de otra manera o use otro argumento.

Una vez matizado esto, si lo que te re refieres es a que no entiendes la acotación, ¿exactamente qué parte de la misma no entiendes?.

Nota que:

\( \||x^2-y^2|+2i|xy|\|\leq |x^2|+|y^2|+2|xy|\leq x^2+y^2+2\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2}=3(x^2+y^2) \)

Saludos.
Es eso lo quería que me expliques.
Cómo hemos llegado a dicha acotación.
Ya me ha quedado claro.Muchas gracias Luis Fuentes.