Autor Tema: Coordenadas cilíndricas

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17 Febrero, 2018, 11:09 am
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Anasanchez

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Como se utiliza el cambio a coordenadas cilíndricas para calcular la siguiente integral:
\( \displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{(4-x^2)}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{(x^2+y^2)}} zdzdydx \)


18 Febrero, 2018, 12:55 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola Ana

El volumen a calcular es la mitad de la diferencia del volumen de un cilindro con base radio 2 altura 2 menos el volumen del cono de base radio 2 altura 2.

El volumen del medio cilindro es:

\( \displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}r\; dz\; dr\; d\varphi \)

El volumen del medio cono es

\( \displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}r\; dz\; dr\; d\varphi \)


La diferencia de estas nos resulta en el volumen de la región a integrar


\( V=\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}r\; dz\; dr\; d\varphi-\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}r\; dz\; dr\; d\varphi \)


Creo que solo falta añadir la zeta del integrando

\( {\bf\color{blue}I}=\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}{\bf\color{blue}z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi-\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}{\bf\color{blue}z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi \)


Espera que un compañero del foro le "eche un ojo"



Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

18 Febrero, 2018, 02:38 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

Es un problema que se puede resolver de varias formas, es conveniente un dibujo que muestre la región de integración. Lo que ha hecho ingmarov es correcto.

Saludos

18 Febrero, 2018, 03:02 am
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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\( {\bf\color{blue}I}=\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}{\bf\color{blue}z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi-\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}{\bf\color{blue}z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi \)


Espera que un compañero del foro le "eche un ojo"



Pero eso se puede escribir como una sola integral triple, bien directamente o bien restando esas dos:

\( I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}{z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi-\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}{z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi = \displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{r}{z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi \)

Y es más sencillo de evaluar.

Saludos,

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)