Autor Tema: Problema de números irracionales

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15 Enero, 2018, 07:35 pm
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Gerardovf

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Buenas a todos, necesito un poco de ayuda con este problema:

Sea \( \{ q_{n}: n=1,2,3,\dots\} \) una enumeración de los números racionales, probar que existen números irracionales que no pertenecen a:

\( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right) \)


Gracias de antemano.

15 Enero, 2018, 07:43 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas a todos, necesito un poco de ayuda con este problema:

Sea \( \{ q_{n}: n=1,2,3,\dots\} \) una enumeración de los números racionales, probar que existen números irracionales que no pertenecen a:

\( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right) \)


Gracias de antemano.

Basta tener en cuenta que:

\( \mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\right)\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\mu\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)=2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}<\infty \)

Por tanto esa unión no puede ser todo \( \mathbb{R} \) que tiene medida infinita.

Saludos.

15 Enero, 2018, 08:04 pm
Respuesta #2

Gerardovf

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Muchísimas gracias, la época de exámenes está acabando conmigo, porque era bastante fácil  ;D ;D