Hola
Me podes explicar¿ por qué no es derivable?
Como observación previa la función puede escribirse como:
\( f(x)=\begin{cases} x-x^2 & \text{si}& x\leq{3}\\-x-3& \text{si}& \color{red}x>3\color{black}\end{cases} \)
ya que si \( x\neq 3 \), \( \dfrac{x^2-9}{3-x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{-(x-3)}=-x-3 \)
La derivada en \( x_0=3 \) existe si existe el límite:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(3+x)-f(3)}{x} \)
Pero el límite por la izquierda es:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}\dfrac{(3+x)-(3+x)^2+6}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}\dfrac{-5x-x^2}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}-5-x=-5 \)
y por la derecha:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}\dfrac{-(3+x)-3+6}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}1=1 \)
No coinciden y por tanto el límite no existe.
Saludos.
P.D. Si has dado los resultados que lo sustentan hay una forma más rápida de concluir esto. Las dos funciones que a trozos componen la nuestra son \( f_1(x)=x-x^2 \) y \( f_2(x)=-x-3 \) ambas derivables en un entorno del \( 3 \) (con \( f_1'(x)=1-2x \) y \( f_2'(x)=-1 \)) por ser polinómicas. Entonces:
\( f'_-(3)=f_1'(3)=1-2\cdot 3=-5,\qquad f'_+(3)=f_2'(3)=-1 \)
No coinciden y por tanto \( f \) no es derivable en \( 3 \).
