Autor Tema: Bases de un espacio vectorial

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10 Febrero, 2018, 02:51 am
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Dongatomate

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Buenas noches, tengo el siguiente problema:

Si {\( u,v,w \)} es una base del espacio vectorial \( \mathbb{V} \); entonces {\( 2w+2v,-2v-2u,-u+w \)} es base de \( \mathbb{V} \).

Lo que yo hice fue primero comprobar si el conjunto nuevo es LI;

\( 0=α_1(2w+2v)+α_2(-2v-2u)+α_3(-u+w) \)

Reduciendo el sistema me queda un sist. compatible indeterminado, es decir, los 3 escalares no nulos.

¿Puedo afirmar que el conjunto no es base de \( \mathbb{V} \)?

10 Febrero, 2018, 06:46 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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12 Febrero, 2018, 07:46 pm
Respuesta #2

Dongatomate

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Disculpa, me surgio una duda. Plantee la combinacion lineal y me quedo de la siguiente manera

\( α_1(2w+2v)+α_2(-2v-2u)+α_3(-u+w)=0 \)

y luego;

\( (-2α_2-α_3)u+(2α_1-2α_2)v+(2α_1+α_3)w=0 \)

y por ser {u,v,w} base de \( \mathbb{v} \)

\( (-2α_2-α_3)=0 \)
\( (2α_1-2α_2)=0 \)
\( (2α_1+α_3)=0 \)

despejando me quedan las siguientes ecuaciones

\( α_3=-2α_2 \)
\( α_1=α_2 \)
\( α_3=-2α_1 \)

Lo remplazo en la primera combinación lineal;

y me queda;

\( 0=α_2(2w+2v)+α_2(-2v-2u)-2α_2(-u+w) \)

quedándome como resultado

\( α_2=0 \) y por las ecuaciones que obtuve del sistema lineal \( α_1=α_2=α_3=0 \)

por lo tanto el conjunto que estoy analizando es LI.

¿Es correcto el análisis?
 






13 Febrero, 2018, 12:25 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Disculpa, me surgio una duda. Plantee la combinacion lineal y me quedo de la siguiente manera

\( α_1(2w+2v)+α_2(-2v-2u)+α_3(-u+w)=0 \)

y luego;

\( (-2α_2-α_3)u+(2α_1-2α_2)v+(2α_1+α_3)w=0 \)

y por ser {u,v,w} base de \( \mathbb{v} \)

\( (-2α_2-α_3)=0 \)
\( (2α_1-2α_2)=0 \)
\( (2α_1+α_3)=0 \)

despejando me quedan las siguientes ecuaciones

\( α_3=-2α_2 \)
\( α_1=α_2 \)
\( α_3=-2α_1 \)

Lo remplazo en la primera combinación lineal;

y me queda;

\( 0=α_2(2w+2v)+α_2(-2v-2u)-2α_2(-u+w) \)

quedándome como resultado

\( α_2=0 \)

Pero de ahí no se deduce que \( \alpha_2=0 \). La expresión en rojo es una identidad, es decir, es nula para cualquier valor de  \( \alpha_2 \).

Saludos.

13 Febrero, 2018, 03:27 am
Respuesta #4

Dongatomate

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Ah, tienes razón, entonces en el sistema de ecuaciones que armo la única solución posible tendría que ser la trivial para concluir que el conjunto es LI?

13 Febrero, 2018, 07:52 am
Respuesta #5

Fernando Revilla

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