[Ulysses S]

Hola, buenas tardes. No se como encontrar la expresión del n-ésimo término de la suma parcial dada por \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{1+3k} \), para luego calcularla cuando \( n = 50 \) y \( n=200 \). Desde ya gracias.

[Ignacio Larrosa]

Hola, buenas tardes. No se como encontrar la expresión del n-ésimo término de la suma parcial dada por \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{1+3k} \), para luego calcularla cuando \( n = 50 \) y \( n=200 \). Desde ya gracias.

Se trata de la suma de una progresión aritmética, en la que el primer término es \( 1 + 3\cdot{}1 = 4 \) y la diferencia \( 3 \). Queremos la suma de los n primeros términos de la progresión. Es

\( S_n = \displaystyle\frac{(a_1+a_n)n}{2} \)

Donde a_n es el n-simo término de la progresión, \( a_n = 1 + n\cdot{}3 \). La suma queda entonces,

\( S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n{1+3k} =\displaystyle\frac{(4+3n + 1)n}{2} = \displaystyle\frac{3n^2 + 5n}{2} \)

Saludos,

[Masacroso]

Otra forma de hacerlo es utilizando lo que se llama a veces cálculo finito, que es análogo al cálculo (infinitesimal) que conocemos exceptuando que no existe regla de la cadena y alguna otra diferencia de menor importancia.

En este caso podemos hacer lo siguiente

\( \displaystyle \sum(1+3k)\,\delta k=\sum \delta k+3\sum k\,\delta k=k+3\frac{k^\underline 2}2+C(k) \)

tal que \( C \) es una función arbitraria de período uno o constante en los naturales. Y tomando límites nos queda

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n1+3k=\sum\nolimits_1^{n+1}(1+3k)\,\delta k=\left[k+3\frac{k^\underline 2}2\right]_{k=1}^{k=n+1}=n+1-1+\frac32(n(n+1)-1\cdot0)=n+\frac32n(n+1) \)

donde \( k^\underline m \) es un factorial descendente. Las justificaciones para las manipulaciones tomadas se pueden consultar en el enlace dejado.

[Ulysses S]

Se trata de la suma de una progresión aritmética, en la que el primer término es \( 1 + 3\cdot{}1 = 4 \) y la diferencia \( 3 \). Queremos la suma de los n primeros términos de la progresión. Es

\( S_n = \displaystyle\frac{(a_1+a_n)n}{2} \)

Donde a_n es el n-simo término de la progresión, \( a_n = 1 + n\cdot{}3 \). La suma queda entonces,

\( S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n{1+3k} =\displaystyle\frac{(4+3n + 1)n}{2} = \displaystyle\frac{3n^2 + 5n}{2} \)

Perfecto, muchísimas gracias. Me quedó muy claro.

Otra forma de hacerlo es utilizando lo que se llama a veces cálculo finito, que es análogo al cálculo (infinitesimal) que conocemos exceptuando que no existe regla de la cadena y alguna otra diferencia de menor importancia.

En este caso podemos hacer lo siguiente

\( \displaystyle \sum(1+3k)\,\delta k=\sum \delta k+3\sum k\,\delta k=k+3\frac{k^\underline 2}2+C(k) \)

tal que \( C \) es una función arbitraria de período uno o constante en los naturales. Y tomando límites nos queda

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n1+3k=\sum\nolimits_1^{n+1}(1+3k)\,\delta k=\left[k+3\frac{k^\underline 2}2\right]_{k=1}^{k=n+1}=n+1-1+\frac32(n(n+1)-1\cdot0)=n+\frac32n(n+1) \)

donde \( k^\underline m \) es un factorial descendente. Las justificaciones para las manipulaciones tomadas se pueden consultar en el enlace dejado.

Ahora trataré de leer un poco más acerca de estos conceptos. Algo entendí, pero se ve que como toda área tiene su complejidad. Gracias por el nuevo enfoque.