Sea R la región limitada por las parábolas \( y=x^2+2x \) e \( y=-x^2+4 \) .Exprese mediante integrales definidas (no calcule)
i) el área de R
ii) el volumen del sólido generado por R al girar alrededor de la horizontal y= -1
i) Se trata de dos parábolas de eje vertical, una dirigida hacia arriba, convexa según la terminología más extendida, y la otra hacia abajo, cóncava. Resolviendo el sistema que forman las dos ecuaciones, por igualación que es lo más directo:
\( \left. \begin{matrix} y = x^2 + 2x \\ y = -x^2 + 4 \end{matrix}\right\}\;\Rightarrow{}\;x^2 + 2x = -x^2 + 4 \)
\( 2x^2 + 2x - 4 = 0 \)
\( x^2 + x - 2 = 0 \)
\( x = -2, 1 \)
El área pedida será entonces
\( A(R) = \displaystyle\int_{-2}^{1}{(-x^2 + 4)-(x^2 + 2x)}\,dx = \displaystyle\int_{-2}^{1}{-2x^2 - 2x + 4}\,dx=\left |{-\displaystyle\frac{2}{3}x^3 -\displaystyle\frac{1}{2}x^2 + 4x}\right |_{-2}^1 = 9 \)
ii) La región R es tangente a la recta \( y = -1 \), estando situada sobre ella. Nada cambia si a ambas funciones le sumamos \( 1 \), para que la recta sobre la que deben girar sea ahora el eje \( Ox \). El volumen generado por la región R será la diferencia entre el generado por la región limitada por la parábola y = -x^2 + 5 y el eje Ox, menos la generada por la región limitada por la parábola y = x^2 + 2x + 1 y el eje Ox:
\( V(R) = \pi\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2 + 5)^2\,dx - \pi\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^2 + 2x + 1)^2\,dx = \pi\displaystyle\int_{-2}^{1}{-4x^3-16x^2-4x+24}\,dx = \pi \left |{-x^4-\displaystyle\frac{16}{3}x^3-2x^2+24x}\right |_{-2}^{1} = 45\pi \)
Cuidado, que no hay que integrar el cuadrado de la diferencia, sino la diferencia de los cuadrados de las dos funciones. Lo que hay que restar son los volúmenes producidos por cada una.
Saludos,
