Autor Tema: Hallar una referencia para simplificar una matriz

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28 Enero, 2018, 05:49 pm
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Juan Sánchez

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Buenas tardes,

Sea la afinidad del plano afin sobre \( \mathbb{Q} \) dada por la matriz \( M \), cómo puedo hallar una referencia en la cual la matriz \( M \) se exprese en la forma \( B \)?

\( M=\begin{bmatrix}{5}&{-2}&{-22}\\{12}&{-5}&{-53}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

29 Enero, 2018, 02:06 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas tardes,

Sea la afinidad del plano afin sobre \( \mathbb{Q} \) dada por la matriz \( M \), cómo puedo hallar una referencia en la cual la matriz \( M \) se exprese en la forma \( B \)?

\( M=\begin{bmatrix}{5}&{-2}&{-22}\\{12}&{-5}&{-53}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

Nota que  los autovalores de \( \begin{bmatrix}{5}&{-2}\\{12}&{-5}\\\end{bmatrix} \) son \( 1  \) y \( -1 \), entonces la nueva base debe de estar formada por los autovectores \( \vec u_1 \) y \( \vec u_{-1} \) asociados respectivamente a \( 1 \) y \( -1 \).

El nuevo origen \( (a,b) \) debe de verificar que su imagen tienen coordenadas \( (1,0) \) en la nueva referencia. Por tanto:

\( f(a,b)-(a,b)=1\cdot \vec u_1+0\cdot \vec u_2 \)

Con esto puedes terminar.

Saludos.