No creo que sean totalmente equivalentes, sin embargo sé que son equivalentes cuando la función es Fréchet-diferenciable. Es decir: si la función es Fréchet-diferenciable entonces el gradiente está bien definido, ya que las derivadas parciales de la función existen.
En cualquier caso la definición del límite es lo que define la derivada direccional, aunque la función no sea Fréchet-diferenciable o alguna de sus derivadas parciales no exista.
AÑADO: en más detalle, tenemos que la definición del gradiente es motivada de la siguiente identidad
\( \displaystyle \partial f(x)v=\sum_{k=1}^n v_k\cdot\partial f(x){\rm e_k}=\sum_{k=1}^n v_k\partial_k f(x)=\langle\nabla f(x), v\rangle \)
donde \( \partial f(x) \) es la derivada de Fréchet de \( f:\Bbb R^n\to\Bbb R \), \( {\rm e_1,e_2,\ldots,e_n} \) es la base estándar de \( \Bbb R^n \) y \( v:=(v_1,v_2,\ldots,v_n) \) es un vector cualquiera de \( \Bbb R^n \). Pero está claro que el gradiente también puede estar definido aunque tal derivada no exista, ya que basta que existan las derivadas parciales de \( f \). Igualmente la derivada direccional no necesita siquiera la existencia del gradiente para existir, ya que se define como
\( \displaystyle D_v f(x):=\lim_{t\to 0}\frac{f(x+tv)-f(x)}t \)
donde \( t\in\Bbb R \). En cualquier caso si la derivada de Fréchet existe entonces se puede hallar la derivada direccional como \( D_v f(x)=\partial f(x)v=\langle \nabla f(x),v\rangle \).
Por otro lado que yo sepa la derivada direccional no requiere que el vector sea unitario, puede ser cualquier vector.
En la página de la
wikipedia inglesa vienen a decir lo mismo.
P.D.: observar, de lo de arriba, que
no es suficiente que el gradiente exista para que la identidad \( D_v f(x)=\langle \nabla f(x),v\rangle \) sea cierta, pero sí es suficiente que \( f \) sea Fréchet-diferenciable para que la identidad sea cierta.
