No puedo resolver la siguiente integral por el método de sustitución trigonométrica y por el método de sustitución inversa
La integral es la siguiente \( \sqrt[2]{sen(x)+1} \) y para el método de sustitución inversa debe usarse \( u^2 = sen(x)+1 \)
La resolución tiene que ser por los dos métodos. Desde ya muchas gracias.
La forma más imple debe ser multiplicar y dividir por \( \sqrt[ ]{1-\sen x} \):
\( \displaystyle\int \sqrt[ ]{1+\sen x}\,dx = \displaystyle\int \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-\sen^2 x}}{\sqrt[ ]{1-\sen x }}\,dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\left |{\cos x}\right |}{\sqrt[ ]{1-\sen x}}\,dx \)
Hay que distinguir según el signo de \( \cos x \) en el intervalo de integración y separar en subintervalos si este varía. Suponiendo que sea positivo, y haciendo el cambio \( t = \sen x \), queda:
\( \displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{\sqrt[ ]{1-\sen x}}\,dx= \displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{\sqrt[ ]{1-t}}=-2\sqrt[ ]{1-t}+ C = -2\sqrt[ ]{1-\sen x}+ C \)
Cuando el coseno sea negativo, la integral cambia de signo.
Saludos,
