[MariaOrgaz]

Hola, tengo que resolver el siguiente ejercicio:

Sea \( \mathbb{X}= (C([0,1],  \left\|{·}\right\|) , donde  \left\|{f}\right\|=\displaystyle\int_{0}^{1}\left |{f(t)}\right |dt  \)  para cada \( f\in{\mathbb{X}} \) (norma uno).
Para cada \( n\in{N} \), se define \( φ_n:\mathbb{X}\rightarrow{\mathbb{R}} \) como  \( φ_n(f) = n\displaystyle\int_{0}^{1/n}f(t)dt \)
Probar:
a) \( φ_n\in{\mathbb{X^*}} \)
b) \( \left\{{φ_n}\right\}_n \) converge puntualmente hacia un funcional φ
c)\( φ\not\in{\mathbb{X^*}} \)
d)Usando los apartados anteriores justifica que \( \mathbb{X} \) no es completo

El apartado a) lo resuelto fácilmente demostrando que \( φ_n \) es lineal y está acotado.
Para el b)  compruebo que existe el límite, pero este me sale 0, ¿es ese el φ al que converge puntualmente?

Al quedarme ahí atascada y no saber quien es φ no puedo probar el c).

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo que resolver el siguiente ejercicio:

Sea \( \mathbb{X}= (C([0,1],  \left\|{·}\right\|) , donde  \left\|{f}\right\|=\displaystyle\int_{0}^{1}\left |{f(t)}\right |dt  \)  para cada \( f\in{\mathbb{X}} \) (norma uno).
Para cada \( n\in{N} \), se define \( φ_n:\mathbb{X}\rightarrow{\mathbb{R}} \) como  \( φ_n(f) = n\displaystyle\int_{0}^{1/n}f(t)dt \)
Probar:
a) \( φ_n\in{\mathbb{X^*}} \)
b) \( \left\{{φ_n}\right\}_n \) converge puntualmente hacia un funcional φ
c)\( φ\not\in{\mathbb{X^*}} \)
d)Usando los apartados anteriores justifica que \( \mathbb{X} \) no es completo

El apartado a) lo resuelto fácilmente demostrando que \( φ_n \) es lineal y está acotado.
Para el b)  compruebo que existe el límite, pero este me sale 0, ¿es ese el φ al que converge puntualmente?

Al quedarme ahí atascada y no saber quien es φ no puedo probar el c).

El límite puntual no es cero. Es \( f(0) \). Es decir la función límite \( \varphi \) es \( \varphi(f)=f(0) \).

Fíjate que si llamas:

\( F(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}f(t)dt \)

es una función derivable con \( F'(t)=f(t) \).

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\varphi_n(f)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}nF(1/n)=\displaystyle\lim_{x\to 0}{}\dfrac{F(x)}{x} \)

Por L'Hopital el límite resulta \( F'(0)=f(0) \).

Saludos.

[MariaOrgaz]

Cierto, me equivoqué con el límite.

Entonces una vez que tenemos que \( φ=f(0) \), para ver que no pertenece al dual tendríamos que ver que no es lineal y continuo.
¿Cómo puedo llegar a que φ no está acotado?

[Luis Fuentes]

Hola

Cierto, me equivoqué con el límite.

Entonces una vez que tenemos que \( φ=f(0) \), para ver que no pertenece al dual tendríamos que ver que no es lineal y continuo.
¿Cómo puedo llegar a que φ no está acotado?

Pues ten en cuenta que \( f(0) \) puedes ser arbitrariamente alto, y sin embargo \( \|f\|=\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt\leq 1 \).

Basta por ejemplo que definas \( f \) como un triángulo rectángulo de vértices \( (0,0) \),\( (0,2n) \) y\(  (1/n,0) \).

Saludos.

[MariaOrgaz]

De acuerdo, muchas gracias.

Saludos.