Autor Tema: Orden de crecimiento

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09 Enero, 2018, 12:45 pm
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conchivgr

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Hola.

Sea \( S(r) \) una función real no negativa, creciente para \( r_0 < r < 1 \) , donde \( r_0 > 0 \).

El orden \( k \) de \( S(r) \) se define como:

\( ord(S)=k=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{logS(r)}{logr}} \) y definimos también el siguiente límite: \( C=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S(r)}{r^k}} \).

Sean \( S_1(r) \) y \( S_2(r) \) dos funciones reales no negativas y crecientes para \( r_0 < r < 1, r_0 > 0 \).

Demostrar que si \( k=ord(S_1)=ord(S_2) \):

\( 1: \) Si \( C_1=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S_1(r)}{r^k}}=0 \), entonces \( C_2=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S_2(r)}{r^k}}=0 \)

\( 2: \) Si \( C_1=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S_1(r)}{r^k}}=\infty \), entonces \( C_2=\displaystyle\limsup_{r \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{S_2(r)}{r^k}}=\infty \).

Gracias y besos.