Autor Tema: Igualdad de Función compleja

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07 Enero, 2018, 03:28 am
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sanmath

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Hola, estoy revisando una demostración en un libro. Y no entiendo una parte en la que se define la siguiente función compleja:

\( f_n(v)=\frac{1}{2\pi n}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n e^{-ijv}g(j-k)e^{ikv} \)

Luego el autor sin dar muchos detalles concluye que la función anterior es igual a esto:

\( f_n(v)=\frac{1}{2\pi n}\sum_{j=-(n-1)}^{n-1}(n-|j|)e^{ijv}g(j) \)
\( g \) es una función que se llama en no definida negativa.

Podrían explicarme algunos detalles de por que se tiene tal igualdad ? no la tengo nada clara.

Saludos
1301215

08 Enero, 2018, 11:05 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, estoy revisando una demostración en un libro. Y no entiendo una parte en la que se define la siguiente función compleja:

\( f_n(v)=\frac{1}{2\pi n}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n e^{-ijv}g(j-k)e^{ikv} \)

Luego el autor sin dar muchos detalles concluye que la función anterior es igual a esto:

\( f_n(v)=\frac{1}{2\pi n}\sum_{j=-(n-1)}^{n-1}(n-|j|)e^{ijv}g(j) \)
\( g \) es una función que se llama en no definida negativa.

Podrían explicarme algunos detalles de por que se tiene tal igualdad ? no la tengo nada clara.

Hay un signo que no me cuadra. Pero la idea es la siguiente. Tienes que:

\( f_n(v)=\displaystyle\frac{1}{2\pi n}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n e^{-ijv}g(j-k)e^{ikv}=\displaystyle\frac{1}{2\pi n}\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n e^{-i(j-k)v}g(j-k) \)

Ahora si llamas \( t=j-k \) dado que \( j,k \) van de \( 1  \)a \( n \), tienes que \( t \) pa desde \( 1-n \) hasta \( n-1 \).

Además fijado el valor de \( t \) hay \(  n-|t| \) pares de valores \( j,k \) tales que \( j-k=t \). Por ejemplo:

- Si \( t=1-n \), \( t=j-k \) para \( (j,k)=(1,n). \)
- Si \( t=2-n \), \( t=j-k \) para \( (j,k)=(2,n),(1,n-1). \)

- Si \( t=-1 \), \( t=j-k \) para \( (j,k)=(n-1,n),(n-2,n-1),\ldots,(1,2). \)
- Si \( t=0 \), \( t=j-k \) para \( (j,k)=(n,n),(n-1,n-1),\ldots,(1,1). \)

Por tanto queda:

\( f_n(v)=\displaystyle\frac{1}{2\pi n}\sum_{t=1-n}^{n-1} (n-|t|)e^{-itv}g(t) \)

Saludos.