Autor Tema: Demostración y derivadas primeras parciales.

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10 Enero, 2018, 04:11 pm
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Geraldine____

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G3-S3:

4. Encuentre las derivadas parciales primeras para funciones de la forma:
a) \( f(x,y)=M(x)+N(y) \)
b) \( f(x,y)=M(x)*N(y) \), donde M(x) y N(y) son funciones reales de una variable con las propiedades adecuadas. Dé un par de ejemplos.

Me cuestan bastante las demostraciones, ¿Cómo empiezo la a)?
¿Me tiene que dar en a) que es la suma de las derivadas por definición?
Creo que es así.
Geraldine.

10 Enero, 2018, 04:32 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Geraldine____

No veo que se pida usar la definición para hacer las cuentas. Analicemos tus problemas sólo usando las propiedades de derivadas parciales.

Si tienes una función que depdende de varias variables, cuando derivas con respecto una de ellas las otras puedes considerarlas constantes. En particular, para una función \( f(x,y) \) cuando derivas con respecto de \( x \) la \( y \) actúa como constante.

Por ejemplo:

    \( \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1 \)

    \( \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0 \)

    \( \dfrac{\partial}{\partial x} (xy)=y\dfrac{\partial (x)}{\partial x}=y \)

    \( \dfrac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2\dfrac{\partial (x)}{\partial x}=y^2 \)

    \( \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x\dfrac{\partial (y)}{\partial y}=x \)

    \( \dfrac{\partial}{\partial x}(xy+y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(xy)+\dfrac{\partial}{\partial x}(y)=y \)

    \( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)\cos(y))=\sin(x)\dfrac{\partial}{\partial y} (\cos(y))=-\sin(x)\sin(y) \)

    \( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)\cos(y)+xy^2+3)=\sin(x)\dfrac{\partial}{\partial y}(\cos(y))+x\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(3)=-\sin(x)\sin(y)+2xy \)

etc.

Con eso claro, puedes responder a tu duda.

Luego de eso, si quieres (o es necesario) puedes aplicar la definición de derivada parcial para obtener los mismos resultados, pero no veo que el enunciado pida usar la definición.

11 Enero, 2018, 01:33 am
Respuesta #2

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Pero creo que se refiere a calcularlo en un valor genérico primero.
Tipo demostración.
Luego, sí, ejemplos.
Creo que es así.
Geraldine.

11 Enero, 2018, 03:13 am
Respuesta #3

mathtruco

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Cuando uno no ve como hacer una demostración, lo mejor es darse ejemplos para entender qué ocurre y, entendiendo eso, intentar generalizarlo al caso general.

Para el primero,

    \( \dfrac{\partial}{\partial x}(M(x)+N(y))=\dfrac{\partial}{\partial x}(M(x))+\dfrac{\partial}{\partial x}(N(y))=M'(x) \)

Nota que es la misma idea que quería señalar en el mensaje anteriori. Además nota que podemos escribir \( M'(x) \) porque, al ser una función de sólo una variable, se entiende que la derivada es con respecto a esa variable.

También podríamos haber usado la definición de derivada parcial, pero, como te comentaba antes, no creo que sea el objetivo.

Ya con esto, el segundo problema sale fácil.

11 Enero, 2018, 05:30 am
Respuesta #4

Geraldine____

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Ok.


Nunca entiendo las demostraciones.


Gracias, M. ...

 :)
Creo que es así.
Geraldine.

11 Enero, 2018, 09:27 pm
Respuesta #5

mathtruco

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¿Qué parte no entiendes en mi respuesta?

Por otra parte, eso de "demostración" queda grande en este problema. En mi respuesta sólo hice un cálculo.

12 Enero, 2018, 12:22 am
Respuesta #6

Geraldine____

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Sí, la entendí.


Pero no me salen hacerlas solas, a eso me refería.
Creo que es así.
Geraldine.