Autor Tema: Para una función z = f(x,y), calcula el plano tangente en el punto P(0,1,2).

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Enero, 2018, 11:32 am
Leído 969 veces

AlejandroCB

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 39
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos.

Estoy haciendo la relación de ejercicios de cálculo 1 de ingeniería, y uno de los propuestos pide en un apartado lo siguiente:

Dada la función:
\( f(x,y) = e^{xy^3}+x^2y+2 \) y el punto \( P(0,1,2) \), calcula el plano tangente en dicho punto para z = f(x,y).

Lo que he pensado ha sido lo siguiente:

\( \nabla z = (\frac{{\partial z}}{{\partial x}}, \frac{{\partial z}}{{\partial y}}) \)

Y continuar hasta calcular el plano dado con el gradiente como vector normal.

Pero no tengo muy claro cómo proceder, ya que me dan un punto de 3 coordenadas y yo tengo a z en función de 2 variables.

Lamento si hay errores de concepto en mi explicación de por qué no lo entiendo, pero vengo de ciencias sociales y no termino de acostumbrarme a la geometría en el espacio, me falta mucho trabajo aún.

10 Enero, 2018, 11:44 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,106
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola a todos.

Estoy haciendo la relación de ejercicios de cálculo 1 de ingeniería, y uno de los propuestos pide en un apartado lo siguiente:

Dada la función:
\( f(x,y) = e^{xy^3}+x^2y+2 \) y el punto \( P(0,1,2) \), calcula el plano tangente en dicho punto para z = f(x,y).

Lo que he pensado ha sido lo siguiente:

\( \nabla z = (\frac{{\partial z}}{{\partial x}}, \frac{{\partial z}}{{\partial y}}) \)

Y continuar hasta calcular el plano dado con el gradiente como vector normal.

Pero no tengo muy claro cómo proceder, ya que me dan un punto de 3 coordenadas y yo tengo a z en función de 2 variables.

Lamento si hay errores de concepto en mi explicación de por qué no lo entiendo, pero vengo de ciencias sociales y no termino de acostumbrarme a la geometría en el espacio, me falta mucho trabajo aún.

La superficie cuyo plano tangente en \( P \) te piden, viene dada por la ecuación implícita:

\( F(x,y,z)=0 \) con \( F(x,y,z)=f(x,y)-z \)

El vector normal viene dado por el gradiente de \( F \):

\( \Delta F=\left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right)=
\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},-1\right) \)

¿Sabes continuar ahora?.

Saludos.

10 Enero, 2018, 11:47 am
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,270
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra
Hola a todos.

Estoy haciendo la relación de ejercicios de cálculo 1 de ingeniería, y uno de los propuestos pide en un apartado lo siguiente:

Dada la función:
\( f(x,y) = e^{xy^3}+x^2y+2 \) y el punto \( P(0,1,2) \), calcula el plano tangente en dicho punto para z = f(x,y).

Lo que he pensado ha sido lo siguiente:

\( \nabla z = (\frac{{\partial z}}{{\partial x}}, \frac{{\partial z}}{{\partial y}}) \)

Y continuar hasta calcular el plano dado con el gradiente como vector normal.

Pero no tengo muy claro cómo proceder, ya que me dan un punto de 3 coordenadas y yo tengo a z en función de 2 variables.

Lamento si hay errores de concepto en mi explicación de por qué no lo entiendo, pero vengo de ciencias sociales y no termino de acostumbrarme a la geometría en el espacio, me falta mucho trabajo aún.

Supongo que es \( P(0, 1, 3) \). La tercera es el valor de la función, \( f(0, 1) = 3 \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

10 Enero, 2018, 01:08 pm
Respuesta #3

AlejandroCB

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 39
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola a todos.

Estoy haciendo la relación de ejercicios de cálculo 1 de ingeniería, y uno de los propuestos pide en un apartado lo siguiente:

Dada la función:
\( f(x,y) = e^{xy^3}+x^2y+2 \) y el punto \( P(0,1,2) \), calcula el plano tangente en dicho punto para z = f(x,y).

Lo que he pensado ha sido lo siguiente:

\( \nabla z = (\frac{{\partial z}}{{\partial x}}, \frac{{\partial z}}{{\partial y}}) \)

Y continuar hasta calcular el plano dado con el gradiente como vector normal.

Pero no tengo muy claro cómo proceder, ya que me dan un punto de 3 coordenadas y yo tengo a z en función de 2 variables.

Lamento si hay errores de concepto en mi explicación de por qué no lo entiendo, pero vengo de ciencias sociales y no termino de acostumbrarme a la geometría en el espacio, me falta mucho trabajo aún.

La superficie cuyo plano tangente en \( P \) te piden, viene dada por la ecuación implícita:

\( F(x,y,z)=0 \) con \( F(x,y,z)=f(x,y)-z \)

El vector normal viene dado por el gradiente de \( F \):

\( \Delta F=\left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right)=
\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},-1\right) \)

¿Sabes continuar ahora?.

Saludos.

Entonces lo había hecho bien! (Aquí lo escribí de la forma que menos correcta creía que era, por eso el nabla de Z).
Lo que pasa es que esto no lo hemos visto en clase y es el primer ejercicio que me encuentro así, y dada mi trayectoria con las matemáticas... casi siempre confío en que me estoy equivocando  :D.
Gracias a ambos. El punto en el enunciado es \( P(0,1,2) \), aunque no niego que venga mal. De todas formas es irrelevante la coordenada z si no me equivoco, ya que su derivada es -1.

Por cierto, mi resultado es:

\( \pi: x-z-1 = 0  \)

Estoy casi seguro de que está bien, ya que el gradiente es normal al plano, así que si a caso me podría equivocar despejando el término independiente.

10 Enero, 2018, 05:54 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,106
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Entonces lo había hecho bien! (Aquí lo escribí de la forma que menos correcta creía que era, por eso el nabla de Z).
Lo que pasa es que esto no lo hemos visto en clase y es el primer ejercicio que me encuentro así, y dada mi trayectoria con las matemáticas... casi siempre confío en que me estoy equivocando  :D.
Gracias a ambos. El punto en el enunciado es \( P(0,1,2) \), aunque no niego que venga mal.
De todas formas es irrelevante la coordenada z si no me equivoco, ya que su derivada es -1.

Es irrelevante a nivel de cuentas para calcular el gradiente; pero no lo es para calcular la ecuación del plano, que depende del punto. Y lo que es más importante más allá de las cuentas si el punto \( P(x_0,y_0,z_0) \) no verifica que \( z_0=f(x_0,y_0) \) entonces no es un punto de la superficie con la que estamos trabajando y NO tiene sentido calcular el plano tangente ahí.

Citar
Por cierto, mi resultado es:

\( \pi: x-z-1 = 0  \)

Estoy casi seguro de que está bien, ya que el gradiente es normal al plano, así que si a caso me podría equivocar despejando el término independiente.

Con la corrección pertinente y necesaria para que el enunciado tenga sentido el punto es \( P(0,1,3) \) y el plano tangente entonces:

\( 1(x-0)-1(z-3)=0 \)

es decir:

\( x-z+3=0 \)

Saludos.

P.D. Ni siquiera con el punto \( P(0,1,2) \) quedaría \( x-z-1=0. \)

10 Enero, 2018, 09:58 pm
Respuesta #5

AlejandroCB

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 39
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Entonces lo había hecho bien! (Aquí lo escribí de la forma que menos correcta creía que era, por eso el nabla de Z).
Lo que pasa es que esto no lo hemos visto en clase y es el primer ejercicio que me encuentro así, y dada mi trayectoria con las matemáticas... casi siempre confío en que me estoy equivocando  :D.
Gracias a ambos. El punto en el enunciado es \( P(0,1,2) \), aunque no niego que venga mal.
De todas formas es irrelevante la coordenada z si no me equivoco, ya que su derivada es -1.

Es irrelevante a nivel de cuentas para calcular el gradiente; pero no lo es para calcular la ecuación del plano, que depende del punto. Y lo que es más importante más allá de las cuentas si el punto \( P(x_0,y_0,z_0) \) no verifica que \( z_0=f(x_0,y_0) \) entonces no es un punto de la superficie con la que estamos trabajando y NO tiene sentido calcular el plano tangente ahí.

Citar
Por cierto, mi resultado es:

\( \pi: x-z-1 = 0  \)

Estoy casi seguro de que está bien, ya que el gradiente es normal al plano, así que si a caso me podría equivocar despejando el término independiente.

Con la corrección pertinente y necesaria para que el enunciado tenga sentido el punto es \( P(0,1,3) \) y el plano tangente entonces:

\( 1(x-0)-1(z-3)=0 \)

es decir:

\( x-z+3=0 \)

Saludos.

P.D. Ni siquiera con el punto \( P(0,1,2) \) quedaría \( x-z-1=0. \)

Pues tienes toda la razón. Debería haberlo comprobado.

Gracias por el apunte.

Por cierto Luis, supongo que leerás esto, y sólo como curiosidad (y puedes dar por terminado el hilo independientemente de si respondes este mensaje o no, me da un poco de vergüenza iniciar un hilo en "dudas" para esto) ¿pero causa una mala impresión alguien como yo (con muy poca base matemática) que sólo hace preguntas? Me gustaría participar pero no confío en que mis respuestas sean certeras y útiles, y prefiero abstenerme de responder aún.

11 Enero, 2018, 12:05 am
Respuesta #6

Fernando Revilla

  • Administrador
  • Mensajes: 10,944
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
¿pero causa una mala impresión alguien como yo (con muy poca base matemática) que sólo hace preguntas? Me gustaría participar pero no confío en que mis respuestas sean certeras y útiles, y prefiero abstenerme de responder aún.

Por mi parte, y creo reflejar una opinión general del espíritu del foro:

          1. No causa ninguna mala impresión sólo hacer preguntas.
          2. Si crees tener respuesta sincera a alguna pregunta de un usuario, no te de
              miedo responder. Si tienes algún error, alguien lo corregirá.

11 Enero, 2018, 12:28 am
Respuesta #7

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,426
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Alejandro.
¿pero causa una mala impresión alguien como yo (con muy poca base matemática) que sólo hace preguntas? Me gustaría participar pero no confío en que mis respuestas sean certeras y útiles, y prefiero abstenerme de responder aún.

Por mi parte, y creo reflejar una opinión general del espíritu del foro:

          1. No causa ninguna mala impresión sólo hacer preguntas.
          2. Si crees tener respuesta sincera a alguna pregunta de un usuario, no te de
              miedo responder. Si tienes algún error, alguien lo corregirá.

Suscribo todo lo dicho por Fernando.

Saludos.

P.D.: la base matemática siempre se puede mejorar, pero es necesario plantearse dudas y obtener las respuestas, para eso estamos . También tus preguntas pueden ayudar a otras personas con dudas similares.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.