[franjgg]

Buenas que tal estaís,

Vereís creo que tengo casi resulto este ejercicio que dice:

Dada la ecuación \( \frac{{\partial^2 y}}{{\partial x^2}} + \displaystyle\frac{1}{x}  \frac{{\partial y}}{{\partial x}} + y = 0    \)

Y siendo \( x^2 = 4t \), hallar la relación que expresa la relación entre las variables Y y T.



-Como resultado del ejercicio nos dicen:

Como \( x^2 = 4t \) se tiene que \( t =\displaystyle\frac{x^2}{4} \) por lo que y \( \rightarrow{t}\rightarrow{x} \),  aplicando la regla de la cadena para calcular primero \( \frac{{\partial y}}{{\partial x}} \) y posteriormente \( \frac{{\partial^2 y}}{{\partial x^2}} \). Sustituyendo las expresiones obtenidas en \(  \frac{{\partial^2 y}}{{\partial x^2}} + \displaystyle\frac{1}{x} \frac{{\partial y}}{{\partial x}} +y = 0  \) llegamos a:

\( t \frac{{\partial^2 y}}{{\partial t^2}} + \frac{{\partial y}}{{\partial t}} + y = 0 \)




-Obteniendo

\( \frac{{\partial y}}{{\partial x}} = \frac{{\partial y}}{{\partial t}}*\frac{{\partial t}}{{\partial x}} \)

y

\( \frac{{\partial^2 y}}{{\partial x^2}} = \frac{{\partial^2 y}}{{\partial t^2}} * (\frac{{\partial t}}{{\partial x}})^2 + \frac{{\partial y}}{{\partial t}} + \frac{{\partial^2 t}}{{\partial x^2}} \)

Si esto es correcto y sustituyendo como nos pide el ejercicio me quedaría:

\( \frac{{\partial^2 y}}{{\partial t^2}} * (\frac{{\partial t}}{{\partial x}})^2 + \frac{{\partial y}}{{\partial t}} * \frac{{\partial^2 t}}{{\partial x^2}} + \displaystyle\frac{1}{x} * \frac{{\partial y}}{{\partial t}} * \frac{{\partial t}}{{\partial x}} + y = 0 \)


Sustiyendo con los valores:

\( \frac{{\partial^2 y}}{{\partial t^2}} * \displaystyle\frac{x^3}{4} + \frac{{\partial y}}{{\partial t}} * \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{x} * \frac{{\partial y}}{{\partial t}} * \displaystyle\frac{x}{2} + y = 0 \)

Mi problema viene en que si esto es correcto no veo por que como resultado dice que sale:

\( t \frac{{\partial^2 y}}{{\partial t^2}} + \frac{{\partial y}}{{\partial t}} + y = 0 \)

A ver si alguien puede decir si estoy equivocado.

Saludos!!

[Ignacio Larrosa]

No se por qué utilizas derivadas parciales, estamos hablando de funciones de una sola variable. Por un lado te has equivocado al hallar la derivada segunda y no pareces haber tenido en cuenta que:

\( \dfrac{dt}{dx}= \displaystyle\frac{x}{2},  \)

\( \dfrac{d^2t}{dx^2}=\displaystyle\frac{1}{2} \)

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d^2y}{dt^2}\left(\dfrac{dt}{dx}\right)^2 + \dfrac{dy}{dt}\textcolor{red}{\dfrac{d^2t}{dx^2}} = \displaystyle\frac{x^2}{4}\dfrac{d^2y}{dt^2}+
 \displaystyle\frac{1}{2}\dfrac{dy}{dt}= t\frac{d^2y}{dt^2}+
 \displaystyle\frac{1}{2}\dfrac{dy}{dt} \)

Sustituye y llegarás al resultado deseado.

Saludos,

Corregido

[franjgg]

Buenas Ignacio, gracias por tu ayuda,


La segunda derivada usando ( q' * p + q * p' ) no sería?:

\( \frac{d}{dt} (\frac{dy}{dt}) * \frac{dt}{dx} * \frac{dt}{dx} + \frac{dy}{dt} * \frac{d}{dx}(\frac{dt}{dx}) \)

Gracias de nuevo y saludos.

[Ignacio Larrosa]

Buenas Ignacio, gracias por tu ayuda,


La segunda derivada usando ( q' * p + q * p' ) no sería?:

\( \frac{d}{dt} (\frac{dy}{dt}) * \frac{dt}{dx} * \frac{dt}{dx} + \frac{dy}{dt} * \frac{d}{dx}(\frac{dt}{dx}) \)

Gracias de nuevo y saludos.

Si, es que primero pusiste equivocadamente un '+', pero luego usaste correctamente un '·'. Lo único que te faltaba entonces era sustituir las derivadas de \( t \) respecto de \( x \) y simplificar.

A mi también se me escapó un 'gazapo' en mi anterior mensaje, ahora corregido en rojo.

Saludos,

[franjgg]

Buenas Ignacio,

Tengo unas dudillas, cuando pones:

\( (\frac{dt}{dx})^2 = \displaystyle\frac{x^2}{4} \), no sería \( (\displaystyle\frac{x^2}{4})^2 \)? o el cuadrado no lo considersamos.

Y luego el \( \displaystyle\frac{1}{2}  \) en \( \displaystyle\frac{1}{2} \frac{dy}{dt} \) sería igual que = \(  \frac{dy}{dt} + y  \)?

Te pregunto por que no me queda claro el paso de sustituir, si hago como dice el ejercicio y sustituyo las expresiones resultantes de calcular:

\( \frac{{\partial y}}{{\partial x}}  \) y \( \frac{d^2y}{dx^2} \), en:

\( \frac{d^2y}{dx^2} + \displaystyle\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} +y = 0 \)

 me quedaría así:

\( \frac{{\partial^2 y}}{{\partial t^2}} * \displaystyle\frac{x^3}{4} + \frac{{\partial y}}{{\partial t}} * \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{x} * \frac{{\partial y}}{{\partial t}} * \displaystyle\frac{x}{2} + y = 0 \)

O me estoy liando?

muchas gracias de nuevo.

Saludos!

[Ignacio Larrosa]

Buenas Ignacio,

Tengo unas dudillas, cuando pones:

\( (\frac{dt}{dx})^2 = \displaystyle\frac{x^2}{4} \), no sería \( (\displaystyle\frac{x^2}{4})^2 \)? o el cuadrado no lo considersamos.

No .... veamos:

\( t = \displaystyle\frac{x^2}{4} \;\Rightarrow{}\;\frac{dt}{dx} = \displaystyle\frac{x}{2}\;\Rightarrow{}\;\left(\frac{dt}{dx}\right)^2 =\displaystyle\frac{x^2}{4} (= t) \)

Y luego el \( \displaystyle\frac{1}{2}  \) en \( \displaystyle\frac{1}{2} \frac{dy}{dt} \) sería igual que = \(  \frac{dy}{dt} + y  \)?

Te pregunto por que no me queda claro el paso de sustituir, si hago como dice el ejercicio y sustituyo las expresiones resultantes de calcular:

\( \frac{{\partial y}}{{\partial x}}  \) y \( \frac{d^2y}{dx^2} \), en:

\( \frac{d^2y}{dx^2} + \displaystyle\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} +y = 0 \)

 me quedaría así:

\( \frac{{\partial^2 y}}{{\partial t^2}} * \displaystyle\frac{x^3}{4} + \frac{{\partial y}}{{\partial t}} * \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{x} * \frac{{\partial y}}{{\partial t}} * \displaystyle\frac{x}{2} + y = 0 \)

O me estoy liando?

Creo que te has liado:

\( \dfrac{d^2 y}{d x^2} + \dfrac{1}{x}  \dfrac{{d y}}{d x} + y = 0 \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{x}{2}\dfrac{dy}{dt} \)

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d^2y}{dt^2}\left(\dfrac{dt}{dx}\right)^2 + \dfrac{dy}{dt}\dfrac{d^2t}{dx^2} = \dfrac{x^2}{4}\dfrac{d^2y}{dt^2}+  \displaystyle\frac{1}{2}\dfrac{dy}{dt}= t\frac{d^2y}{dt^2}+  \displaystyle\frac{1}{2}\dfrac{dy}{dt} \)

\( \Longrightarrow{}\;\;t\dfrac{d^2y}{dt^2}+  \dfrac{1}{2}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{1}{x}\dfrac{x}{2}\frac{dy}{dt} + y = t\frac{d^2y}{dt^2}+  \frac{dy}{dt} + y = 0 \)

Saludos,