Autor Tema: ¿Cómo debo escribir este enunciado?

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25 Diciembre, 2017, 08:51 pm
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feliperodries

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Estoy haciendo un trabajo y obtuve un enunciado bastante explicativo, para dar pulideza deseo dar una expresión matemática, el problema es que mis conocimientos de la misma son muy limitados (aunque van mejorando).

El enunciado es el siguiente: en un sistema con n elementos cada elemento mantiene una relación con los demás elementos, siendo el número de relaciones de cada elemento igual a n-1; la complejidad del sistema, es igual a la suma de todas las relaciones entre elementos.

Para obtener la complejidad obtuve lo siguiente:

\( f(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{[(0<x\leq{n})-1]} \)

PD: Evidentemente tanto x como n son números naturales.

Realizar tal fórmula era sencillo con sistemas de pocos elementos, pero muy impráctica para sistemas de mayor complejidad. Afortunadamente resolví el problema mediante el método del ensayo error y obtuve esto:

\( f(n)=\displaystyle\frac{n^2-n}{2} \)

La fórmula de abajo funciona, pero no sé si mis enunciados son correctos.

25 Diciembre, 2017, 09:39 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola feliperodries, bienvenido al foro:

Estoy haciendo un trabajo y obtuve un enunciado bastante explicativo, para dar pulideza deseo dar una expresión matemática, el problema es que mis conocimientos de la misma son muy limitados (aunque van mejorando).

El enunciado es el siguiente: en un sistema con n elementos cada elemento mantiene una relación con los demás elementos, siendo el número de relaciones de cada elemento igual a n-1; la complejidad del sistema, es igual a la suma de todas las relaciones entre elementos.

Para obtener la complejidad obtuve lo siguiente:

\( f(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{[(0<x\leq{n})-1]} \)

PD: Evidentemente tanto x como n son números naturales.

Realizar tal fórmula era sencillo con sistemas de pocos elementos, pero muy impráctica para sistemas de mayor complejidad. Afortunadamente resolví el problema mediante el método del ensayo error y obtuve esto:

\( f(n)=\displaystyle\frac{n^2-n}{2} \)

La fórmula de abajo funciona, pero no sé si mis enunciados son correctos.

Si, el enunciado es el correcto, (solo aclarar que la relación entre el elemento j y k, es la misma que la relación entre el elemento k y j y se cuenta una sola vez ,es una relación simétrica \( jRk\Leftrightarrow{}kRj \))

Entonces la formula es sencilla de calcular. Si hay "n" elementos con "n-1" relaciones para cada uno de esos "n" elementos, la suma de todas las relaciones serán en principio \( n\cdot{}(n-1) \) , pero así, si cuento las relaciones del elemento k, incluyo la relación con el elemento J  (\( kRj \)) , pero al contar las relaciones del elemento j también incluyo la del elemento K (\( jRk \) que es la misma que ya contè antes, por ello asi se repiten 2 veces cada relación, por tanto dividimos entre 2.

\( f(n)=\displaystyle\frac{n\cdot{}(n-1)}{2}=\displaystyle\frac{n^2-n}{2} \) , lo que es lo mismo: \( f(n)=\displaystyle\frac{n\cdot{}(n-1)}{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}{i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{i-1} \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

26 Diciembre, 2017, 08:13 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Es lo mismo que si tienes \( n \) personas y quieres ver cuando todos se darán la mano una sola vez.

El primero dará la mano \( n-1 \) veces.
El segundo dará la mano \( n-2 \) veces. por que el primero le dio la mano.
Así hasta llegar al \( n-1 \) individuo que sólo dará la mano a una persona la última.

Hay entonces  \( 1+2+3+ \cdots + (n-1)  = \dfrac{(n-1) \cdot n}{2}  \) saludos.

Otra forma es cuántos subconjuntos de dos personas hay en un conjunto de \( n \) personas \( \displaystyle\binom{n}{2} \)