[Masacroso]

No sé si el contraejemplo de Luis se adecúa a lo que yo había planteado (ya que los valores de \( d \) en mi caso estaban restringidos) sin embargo he encontrado contraejemplos que desmontan lo que había supuesto en mi respuesta anterior.

Es más: tomando el largo total de la fila como \( 2n \) se puede mostrar que si \( 2n\bmod 2d\in\{1,\ldots, d-1\} \) entonces existe una configuración de la fila que imposibilita la existencia de la buscada subfila de largo \( 2d \), la configuración serían filas repetidas de estructura \( d-1 \) chicos seguidos de \( d+1 \) chicas hasta completar el largo \( 2n \) total.

Para el resto de módulos el sistema tiene solución, es decir, cuando \( 2n\bmod 2d\in\{d,\ldots,2d-1\} \), lo cual se puede demostrar particionando la fila en subfilas de largo \( 2d \) y analizando la composición del resto en cada caso. Bueno, ahora no estoy tan seguro de esta segunda afirmación... creo que no es cierta después de todo. Para que fuese indudablemente cierta habría que añadir la condición \( 2n/2d\ge d \).

AÑADIDO: el sistema siempre tiene solución si \( 2n\equiv 0\bmod 2d \).

[Luis Fuentes]

Hola

No sé si el contraejemplo de Luis se adecúa a lo que yo había planteado (ya que los valores de \( d \) en mi caso estaban restringidos) sin embargo he encontrado contraejemplos que desmontan lo que había supuesto en mi respuesta anterior.

No sé a que restricciones te refieres.

Releyendo lo que has escrito, ya no sé si estamos usando la misma notación porque escribes \( 4n \).

Yo estoy llamando \( 2n \) al número total de personas, de manera que hay \( n \) niños y \( n \) niñas.

Es más: tomando el largo total de la fila como \( 2n \) se puede mostrar que si \( 2n\bmod 2d\in\{1,\ldots, d-1\} \) entonces existe una configuración de la fila que imposibilita la existencia de la buscada subfila de largo \( 2d \), la configuración serían filas repetidas de estructura \( d-1 \) chicos seguidos de \( d+1 \) chicas hasta completar el largo \( 2n \) total

No entiendo el ejemplo, ni a que te refieres. En principio con esa cadencia estás poniendo siempre menos chicos que chicas. El total no sería igual.

Por ejemplo si \( 2n=14 \), \( 2d=6 \), se tiene que \( 2n\mod 2d=2\in \{1,2\} \). ¿Cuál se supone que sería la configuración concreta que imposibilita la existencia de una subcadena de longitud \( 6 \) con \( 3 \) niños y \( 3 \) niñas?.

Saludos.

P.D. Siguiendo con lo que apunte en mis primeras observaciones una condición necesaria al meno si \( n \) es par, es que \( d\leq n/2 \) en otro caso, si \( d=n/2+1 \) poniendo \( n/2 \) chicos en los extremos y \( n \) chicas en el medio, no existe una fila de \( 2d=n+2 \) seguidos con igual número de niños y niñas. Por ejemplo si \( n=10 \) entonces:

HHHHHMMMMMMMMMMHHHHH

no tiene una cadena de \( 12 \) personas con \( 6 \) de cada sexo.

[Masacroso]

Sí, mi notación es diferente. El largo de la cadena que yo había considerado originalmente era de \( 4n \). Sólo en la respuesta anterior he considerado un largo total de \( 2n \).

Claro Luis, estoy poniendo menos chicos que chicas con la configuración \( d-1,d+1 \) antes mencionada. Pero repito la cadena hasta completar \( 2n \), cortando un trozo de la cadena base \( d-1,d+1 \). Es decir, en el final hay un resto sólo de chicos, que es de longitud menor o igual a \( d-1 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, mi notación es diferente. El largo de la cadena que yo había considerado originalmente era de \( 4n \). Sólo en la respuesta anterior he considerado un largo total de \( 2n \).

Claro Luis, estoy poniendo menos chicos que chicas con la configuración \( d-1,d+1 \) antes mencionada. Pero repito la cadena hasta completar \( 2n \), cortando un trozo de la cadena base \( d-1,d+1 \). Es decir, en el final hay un resto sólo de chicos, que es de longitud menor o igual a \( d-1 \).

Sigo sin verlo. ¿Puedes poner un ejemplo concreto?. Por ejemplo para \( 2n=14, \) es decir 14 personas en total con 7 niños y 7 niñas y \( d=3 \), es decir, buscar una cadena de longitud 6 con 3 niños y 3 niñas. Si he entendido bien, es un caso en el que dices que hay una configuración donde no existe tal cadena. ¿Cuál es?.

Si ese caso no se adapta a lo que dices, pon otro ejemplo concreto en el que el busquemos una cadena de longitud \( 2d \) menor o igual que la mitad del total de personas y no exista tal cadena.

Saludos.

[Masacroso]

Hola

Sí, mi notación es diferente. El largo de la cadena que yo había considerado originalmente era de \( 4n \). Sólo en la respuesta anterior he considerado un largo total de \( 2n \).

Claro Luis, estoy poniendo menos chicos que chicas con la configuración \( d-1,d+1 \) antes mencionada. Pero repito la cadena hasta completar \( 2n \), cortando un trozo de la cadena base \( d-1,d+1 \). Es decir, en el final hay un resto sólo de chicos, que es de longitud menor o igual a \( d-1 \).

Sigo sin verlo. ¿Puedes poner un ejemplo concreto?. Por ejemplo para \( 2n=14, \) es decir 14 personas en total con 7 niños y 7 niñas y \( d=3 \), es decir, buscar una cadena de longitud 6 con 3 niños y 3 niñas. Si he entendido bien, es un caso en el que dices que hay una configuración donde no existe tal cadena. ¿Cuál es?.

Si ese caso no se adapta a lo que dices, pon otro ejemplo concreto en el que el busquemos una cadena de longitud \( 2d \) menor o igual que la mitad del total de personas y no exista tal cadena.

Saludos.

El ejemplo sería \( \underbrace{HHMMMM}_{d-1,d+1}\underbrace{HHMMMM}_{d-1,d+1}\underbrace{HH}_{d-1,d+1\text{ cortado}} \). Ah, ya veo, he contado mal... cierto, en este caso esto no sirve. La idea era utilizar una fila base tal que sólo dejase un resto de un mismo sexo... pero no había contado bien los totales.

[Luis Fuentes]

Hola

El ejemplo sería HHMMMMHHMMMMHH.

¡Pero ahí no hay el mismo número de hombres que mujeres qué es la premisa esencial e inicial en todo el problema!. 

Saludos.

[robinlambada]

Hola.

 6) En la de robinlambada (donde por cierto para evitar equívocos apunto que definie una función \(  \)D de significado diferente a la de masacroso), no es cierta esta parte... ¡la esencial!:

Como hay el mismo número de niños que de niñas, no puede ser \( D(2d+l)-D(l)>0 \)  siempre, llegara un momento en que exista un q tal que

\( D(2d+q=p)-D(q)=0 \)

 No veo como de todo lo anterior se deduce lo rojo. Es más, sabemos que sin usar alguna condición adicional sobre \( d \) de hecho no es cierto.

Es que la condición que impongo al grupo ( de 2d niños y niñas ) es que sea menor o igual que la mitad de la fila es decir \( 2d\leq{}n \)

Ya lo puse explícitamente en:

Tal que \( p-q=\color{blue}2d\leq{}n \)  y \( D(p)-D(q)=0 \).

Si es cierto que no es evidente el paso que di de que no siempre se debe dar  \( D(2d+l)-D(l)>0 \) lo debería haber desarrollado más, pero la idea esta en mis mensajes anteriores.

Si  n es múltiplo de d, entonces esta probado aqui, por reducción al absurdo.

Si se puede demostrar, por el hecho de que hay igual número de niños que de niñas en total.
Si en la 1ª hilera de 2d personas encuentras más niños que niñas pasas a la segunda hilera de 2d personas, que ocurre igual, pasa a la 3ª hilera, tarde o temprano llegarás a una hilera con más niñas que niños, por reducción al absurdo, si no pasara así es decir en todas las hileras hubiera más niños que niñas al sumar los niños y niñas de todas las hileras llegarías a que hay más niños en total que niñas, lo cual es absurdo.

Saludos.

En definitiva tenemos \( 2n=k(2d)+r \, con \,  k\geq{}2 \), por ser \( 2d\leq{n} \)

El problema está cuando \( 2n\equiv{}r \,mod(2q) \), aqui a lo sumo el último grupo de r componentes tenemos que \( D(n)-D(2n-r)=2t<0 \)


Si vamos aumentando el número de componentes del último grupo de r miembros de 2 en 2 , hasta formar uno de 2d miembros.

Pueden pasar tres cosas con la diferencia de miembros \( D(2n)-D(2n-2d)=2t \)


1º.- Que la diferencía entre niños y niñas siga siendo negativa 2t<0, con lo cual ya hemos encontrado un grupo de 2d personas con la diferencia de sexo negativa (y par), como hemos demostrado que al menos hay uno con diferencia positiva y par \( D(2d)=m>0 \) , al movernos hacia el grupo con diferencia negativa , pasaremos forzosamente por el de diferencia cero.

2º.- Que la diferencia se haga cero, queda demostrado.

3º.- Que la diferencia pase a ser positiva \( D(2n)-D(2n-2d)=2t>0 \) como \( D(2n)-D(2n-r)<0 \) (*)

Aqui estoy atascado.(*) creo que debo utilizar un argumento similar reiteradamente hasta llegar a un absurdo, pero no lo logro ver.

Saludos y FELIZ 2018.

P.D.: yo como siempre, me engancho con las matemáticas y son las 21:30 y todavía no me he arreglado para las fiestuki de fin de año. Os dejo , que me van a tirar de las orejas y ya las tengo suficientemente grandes.

[davdav]

Buenos días,

A ver si os aporto algo de luz, que he estado pensando de nuevo el problema, intentando demostrar el caso para el que d no es divisor de n, y teniendo en cuenta
lo que apuntábais, que d<n/2. Os dejo por aquí como he pensado el problema por si os ayuda el razonamiento a demostrarlo. Ahora bien, si no me he equivocado he encontrado un caso en el que d<n/2 en el que no se cumple la conjetura.

He tomado como ejemplo n=20 y la hilera d=10, y he ido aumentando n de 2 en 2 hasta llegar al siguiente múltiplo de d.

El caso básico se demuestra fácilmente. Sigamos:


Si n=22, y la hilera d=10:

Podemos dividir n en dos hileras de 10, y una hilera de 2.

Las dos primeras hileras deben tener menos de 5 niñas, es decir deberían tener 4 niñas, pero debe haber en total 11 niñas, y en la última hilera sólo caben 2. Esto es imposible,
por tanto queda demostrado.


Si n=24, y la hilera d=10.

Podemos dividir n en dos hileras de 10, y una hilera de 4.

Las dos primeras hileras deben tener menos de 5 niñas, 4 niñas en concreto, no pueden tener menos, porque en la última hilera caben sólo 4 niñas, que serían las 4 niñas restantes, ya que en total hay 12. Si la última hilera de 4 personas tiene 4 niñas, entonces la hilera de 10 personas anterior a ella, que también tiene 4 niñas deberá tener estas 4 niñas  en sus 4 primeras posiciones (si no, ya tendríamos una hilera intermedia con 5 o más niñas). Por el mismo razonamiento, la hilera de 10 anterior a esta, también deberá tener sus 4 niñas al comienzo.

Y efectivamente, queda la siguiente secuencia:

MMMMHHHHHHMMMMHHHHHHMMMM

No hay ninguna hilera de d=10 personas en las que d/2 sean niñas y d/2 sean niños. ¿Me he equivocado en algo?


Si n=26, y la hilera d=10

Podemos dividir n en dos hileras de 10, y una hilera de 6.

Las dos primeras hileras deben tener menos de 5 niñas, y debe haber en total 13, por tanto en la última hilera debe haber al menos 5 niñas. Por tanto cogiendo la
hilera de 10 personas empezando por el final, habrá 5 o más niñas. Y habíamos supuesto que la primera hilera, comenzando por el principio tenía menos de 5 niñas.
Por tanto, la hilera de 10 personas con 5 niñas que buscamos existirá.
 

Si n=28, y la hilera d=10.

Podemos dividir n en dos hileras de 10, y una hilera de 8.

Las dos primeras hileras deben tener menos de 5 niñas, y debe haber en total 14, por tanto en la última hilera debe haber al menos 6 niñas. Por tanto cogiendo la
hilera de 10 personas empezando por el final, habrá más de 5 niñas. Por el mismo razonamiento que el caso anterior, dicha hilera existirá.


¿Qué opináis?

[Luis Fuentes]

Hola

Leido un poco rápido, pero creo que de acuerdo en todo.

A ver si os aporto algo de luz, que he estado pensando de nuevo el problema, intentando demostrar el caso para el que d no es divisor de n, y teniendo en cuenta
lo que apuntábais, que d<n/2. Os dejo por aquí como he pensado el problema por si os ayuda el razonamiento a demostrarlo. Ahora bien, si no me he equivocado he encontrado un caso en el que d<n/2 en el que no se cumple la conjetura.

He tomado como ejemplo n=20 y la hilera d=10, y he ido aumentando n de 2 en 2 hasta llegar al siguiente múltiplo de d.

El caso básico se demuestra fácilmente. Sigamos:


Si n=22, y la hilera d=10:

Podemos dividir n en dos hileras de 10, y una hilera de 2.

Las dos primeras hileras deben tener menos de 5 niñas, es decir deberían tener 4 niñas, pero debe haber en total 11 niñas, y en la última hilera sólo caben 2. Esto es imposible,
por tanto queda demostrado.


Si n=24, y la hilera d=10.

Podemos dividir n en dos hileras de 10, y una hilera de 4.

Las dos primeras hileras deben tener menos de 5 niñas, 4 niñas en concreto, no pueden tener menos, porque en la última hilera caben sólo 4 niñas, que serían las 4 niñas restantes, ya que en total hay 12. Si la última hilera de 4 personas tiene 4 niñas, entonces la hilera de 10 personas anterior a ella, que también tiene 4 niñas deberá tener estas 4 niñas  en sus 4 primeras posiciones (si no, ya tendríamos una hilera intermedia con 5 o más niñas). Por el mismo razonamiento, la hilera de 10 anterior a esta, también deberá tener sus 4 niñas al comienzo.

Y efectivamente, queda la siguiente secuencia:

MMMMHHHHHHMMMMHHHHHHMMMM

No hay ninguna hilera de d=10 personas en las que d/2 sean niñas y d/2 sean niños. ¿Me he equivocado en algo?


Si n=26, y la hilera d=10

Podemos dividir n en dos hileras de 10, y una hilera de 6.

Las dos primeras hileras deben tener menos de 5 niñas, y debe haber en total 13, por tanto en la última hilera debe haber al menos 5 niñas. Por tanto cogiendo la
hilera de 10 personas empezando por el final, habrá 5 o más niñas. Y habíamos supuesto que la primera hilera, comenzando por el principio tenía menos de 5 niñas.
Por tanto, la hilera de 10 personas con 5 niñas que buscamos existirá.
 

Si n=28, y la hilera d=10.

Podemos dividir n en dos hileras de 10, y una hilera de 8.

Las dos primeras hileras deben tener menos de 5 niñas, y debe haber en total 14, por tanto en la última hilera debe haber al menos 6 niñas. Por tanto cogiendo la
hilera de 10 personas empezando por el final, habrá más de 5 niñas. Por el mismo razonamiento que el caso anterior, dicha hilera existirá.

Apuntar que tu estás llamando \( n \) al total de niños y arriba le llamábamos \( 2n \)...¡nos vamos a armar un lío con notaciones tan variadas!.

Lo interesante es el caso en el que NO se cumple la conjetura para \( d<n/2 \). Ahora entiendo que es lo que quería apuntar masacroso. Cuando \( d \) es impar se puede generalizar tomando sucesivamente \( d-1 \) de un sexo y \( d+1 \) de otro. En total:

\( (d+1)/2 \) veces \( d-1 \) y \( (d-1)/2 \) veces \( d+1 \)

haciendo un total \( 2n=d^2-1 \) personas. No existe en ese caso ningún grupo paritario de \( 2d \) personas seguidas.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ya tengo (creo) la caracterización general.

Supongamos que tenemos \( 2n \) personas en hileras, con \( n \) niños y \( n \) niñas. Sea \( \color{red}\cancel{d\leq n/2}\color{black} \) con \( n=kd+r \) y \( 0\leq r<d \), entonces se pueden garantizar que existen \( 2d \) personas consecutivas con \( d \) de cada sexo si y sólo si:

\( r<k \) ó \( r\geq d-k \)

 Demostración: Veamos primero la condición suficiente.

Supongamos sin pérdida de generalidad que en el primer grupo de \( 2d \) personas hay más niños que niñas (si hubiese igual número se tendría la propiedad deseada).

Si en algún otro grupo de \( 2d \) hay más niñas que niños, dado que cada vez que "avanzamos" en el grupo el número de niños se mantiene o crece uno o decrece uno, necesariamente habríamos pasasdo por un grupo de \( 2d \) personas paritario y tendríamos la propiedad deseada.

Entonces razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que en todos los grupos de \( 2d \) personas consecutivas al menos hay \( d+1 \) niños y por tanto a lo sumo \( d-1 \) niñas.

Pero:

- Si \( r<k \) entonces el número total de niños en los primeros \( k \) grupos disjuntos de \( 2d \) personas sería:

\( \textsf{número de niños}\geq k(d+1)> kd+r=n \) ¡Contradicción! (en total hay \( n \) niños).

- Si \( r\geq d-k \) entonces el número de niñas que faltan por salir en los \( 2r \) puestos finales, sería mayor o igual que:

\( n-k(d-1)=r+k\geq d \)

y por tanto en los últimos \( 2d \) personas al menos habría \( d \) niñas, contradiciendo nuestra suposición.

La condición necesaria: si \( k\leq r<d-k \) se puede construir un ejemplo donde no se encuetran \( 2d \) consecutivos con paridad niños/niñas:

\( \underbrace{d-1\textsf{ niñas},d+1\textsf{ niños }}_{k\textsf{ veces}},r+k\textsf { niñas},r-k\textsf{ niños} \)

Saludos.

CORREGIDO. La hipótesis \( d\leq n/2 \) ni si quiera es necesaria. La caracterización funciona en cualquier caso.