[Masacroso]

Buenas!!

Masacroso, una cosa por que dices que \( f^{\prime}(r)=1 y f^{\prime\prime}(r)=0 \), no entiedo por que tienen este valor y otra cosilla es que el resultado de estas dos derivadas parciales segundas que nos dice el ejercicio no deberia de dar algo como:

\(  f^{\prime\prime}(r) * \displaystyle\frac{x^2}{r^2}+f^{\prime\prime}(r) * \displaystyle\frac{y^2}{r^2} \)

Bueno, saludos!!

Según te preguntaba se deducía que \( f(r)=r \) por lo cual \( f'(r)=1 \) y \( f''(r)=0 \). Pero como te decía en mi última respuesta, como ha supuesto Luis, parece ser que has puesto mal el enunciado en la cabecera del tema, es decir, tú has puesto que \( f(r)=\sqrt{x^2+y^2} \) pero tiene más sentido suponer que \( f \) es una función diferenciable cualquiera que depende de \( r \) y que, como aclarabas en tu segundo mensaje, \( r=\sqrt{x^2+y^2} \), de lo que se sigue la respuesta de Luis.

No entiendo tu segunda pregunta. Revisa el hilo bien, parece que estás confundiendo algo. Pero ahora que veo yo he cometido un "pequeño" error en mi notación: debería haber utilizado el operador derivada total en vez del de derivada parcial para evitar malentendidos ya que \( \frac{\partial}{\partial x}f(x,r)\neq\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x,r) \) si \( r \) es una función que depende de \( x \). Ahora edito mi primera respuesta para acomodar esto.

AÑADO: creo que tu segunda pregunta va dirigido a esto: por la regla de la cadena tenemos que

\( \displaystyle \frac{\mathrm d u}{\mathrm d x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(r)=f'(r)\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}r=f'(r)\frac{x}r \)

Haciendo la segunda derivada tenemos que

\( \displaystyle \frac{\mathrm d^2 u}{\mathrm d x^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(f'(r)\frac{x}r\right)=f''(r)\frac{x^2}{r^2}+f'(r)\left(\frac1r-\frac{x^2}{r^3}\right) \)

que es lo mismo que ya había mostrado Luis.

[franjgg]

Gracias Masacroso,

No te preocupes, seguro es por desconocimiento de mi parte.

De nuevo muchas gracias.

Saludos!

[franjgg]

Por completar el ejercicio, como parte de la solucion nos indica que:

\(

\frac{{\partial ^2u}}{{\partial x^2}}= \frac{d^2u}{dr^2} (\frac{{\partial r}}{{\partial x}})^2 + \frac{du}{dr}(\frac{{\partial^2 r}}{{\partial x^2}})
 \)

 y

\(
\frac{{\partial ^2u}}{{\partial y^2}}= \frac{d^2u}{dr^2} (\frac{{\partial r}}{{\partial y}})^2 + \frac{du}{dr}(\frac{{\partial^2 r}}{{\partial y^2}})
 \)

Debo no estar entendiendo nada por que yo lo veo de este modo:

\(

\frac{{\partial ^2u}}{{\partial x^2}}= \frac{{\partial}}{{\partial x}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}})
 \)

y

\(
\frac{{\partial ^2u}}{{\partial y^2}}= \frac{{\partial}}{{\partial y}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial y}})
 \)


Igual me estoy liando.

Saludos!!

[Luis Fuentes]

Hola

Por completar el ejercicio, como parte de la solucion nos indica que:

\(

\frac{{\partial ^2u}}{{\partial x^2}}= \frac{d^2u}{dr^2} (\frac{{\partial r}}{{\partial x}})^2 + \frac{du}{dr}(\frac{{\partial^2 r}}{{\partial x^2}})
 \)


 y


\(
\frac{{\partial ^2u}}{{\partial y^2}}= \frac{d^2u}{dr^2} (\frac{{\partial r}}{{\partial y}})^2 + \frac{du}{dr}(\frac{{\partial^2 r}}{{\partial y^2}})
 \)


Debo no estar entendiendo nada por que yo lo veo de este modo:


\(

\frac{{\partial ^2u}}{{\partial x^2}}= \frac{{\partial}}{{\partial x}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}})
 \)


y


\(
\frac{{\partial ^2u}}{{\partial y^2}}= \frac{{\partial}}{{\partial y}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial y}})
 \)

Está bien esto:

\(

\frac{{\partial ^2u}}{{\partial x^2}}= \frac{{\partial}}{{\partial x}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}})
 \)

pero vuelve a derivar respecto de \( x \) como la derivada de un producto.

Saludos.

[franjgg]

Perdona por tu tiempo,

Pensaba que la segunda derivada parcial se obtenia solo con ese paso, no entiendo muy bien por que, entonces se hace igual que con una derivada de un producto y nos quedaría así?


\(

\displaystyle\frac{{\partial ^2u}}{{\partial x^2}}= \frac{{\partial}}{{\partial x}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}}) + \frac{{\partial u}}{{\partial t}}*\frac{dr}{dx}

 \)

No entiendo muy bien esta segunda parte, no se si es mucho perdir si conoces algún video en youtuve que explique más o menos.

Muchas gracias amigo

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Perdona por tu tiempo,

Pensaba que la segunda derivada parcial se obtenia solo con ese paso, no entiendo muy bien por que, entonces se hace igual que con una derivada de un producto y nos quedaría así?

\(

\displaystyle\frac{{\partial ^2u}}{{\partial x^2}}= \frac{{\partial}}{{\partial x}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}}) + \frac{{\partial u}}{{\partial t}}*\frac{dr}{dx}

 \)

No estoy seguro de entender tu duda; no hay una diferencia muy grande entre una segunda derivada parcial y una primera derivada parcial; simplemente en la segunda derivada parcial derivamos una función que previamente es primera derivada parcial de otra; es decir derivamos dos veces.

Por ejemplo si \( f(x,y)=2x^3y^2 \)

\(
\dfrac{\partial  f}{\partial y}=4x^3y \)

Ahora:

\(
\dfrac{\partial^2  f}{\partial y \partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial  f}{\partial y}\right)=\dfrac{\partial }{\partial x}(4x^3y)=12x^2y \)

Si en particular la primera derivada es un producto de dos funciones, cuando hallamos la segunda derivada parcial simplemente volvemos a derivar ese producto y "con todo derecho" le podemos aplicar la regla de la derivada de un producto.

Saludos.

[franjgg]

Buenas Luis fuentes,

Gracias por molestarte, te explico mi duda era el proceso en concreto para este caso de la segunda derivada mediante la regla de la cadena, que creo que he entendido, sería esto:

\(
\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} (\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}}) =

\frac{{\partial }}{{\partial x}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}})* \frac{{\partial r}}{{\partial x}}+\frac{{\partial u}}{{\partial r}}* \frac{{\partial }}{{\partial x}}(\frac{{\partial r}}{{\partial x}}) =

\frac{{\partial }}{{\partial r}} (\frac{{\partial u}}{{\partial r}})* \frac{{\partial r}}{{\partial x}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial }}{{\partial x}} (\frac{{\partial r}}{{\partial x}}) =

\frac{{\partial^2 u}}{{\partial r^2}} * (\frac{{\partial r}}{{\partial x}})^2 + \frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial^2 r}}{{\partial x^2}}
 \)

Si no me equivoco creo que el proceso sería correcto, que es lo que tenía mis dudas,

Muchas gracias de nuevo Luis.

Saludos!!

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas Luis fuentes,

Gracias por molestarte, te explico mi duda era el proceso en concreto para este caso de la segunda derivada mediante la regla de la cadena, que creo que he entendido, sería esto:

\(
\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} (\frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}}) =

\frac{{\partial }}{{\partial x}}(\frac{{\partial u}}{{\partial r}})* \frac{{\partial r}}{{\partial x}}+\frac{{\partial u}}{{\partial r}}* \frac{{\partial }}{{\partial x}}(\frac{{\partial r}}{{\partial x}}) =

\frac{{\partial }}{{\partial r}} (\frac{{\partial u}}{{\partial r}})* \frac{{\partial r}}{{\partial x}} * \frac{{\partial r}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial }}{{\partial x}} (\frac{{\partial r}}{{\partial x}}) =

\frac{{\partial^2 u}}{{\partial r^2}} * (\frac{{\partial r}}{{\partial x}})^2 + \frac{{\partial u}}{{\partial r}} * \frac{{\partial^2 r}}{{\partial x^2}}
 \)

Si no me equivoco creo que el proceso sería correcto, que es lo que tenía mis dudas,

Si, está bien.

Saludos.