[franjgg]

Buenas que tal,

Vereis tengo una duda con un ejercicio de variables de orden superior, básicamente no entiendo el enunciado que dice asi:

Sabiendo que \( u = f(r) =\sqrt{x^2+y^2} \) eliminar las variables x e y en:  \( \displaystyle\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{d^2u}{dy^2} \) , como resultado nos da:

\( \displaystyle\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{d^2u}{dy^2} = f^{\prime\prime}(r)+\displaystyle\frac{1}{r} f^{\prime}(r) \).

No entiendo muy bien qué es lo que nos piden.

Saludos!!

[Masacroso]

Hay algo raro, o la función \( f(r):=\sqrt{x^2+y^2} \) es constante o no está bien definida, ya que \( r \) no aparece en su definición.

[franjgg]

Buenas Masacroso,

Es cierto nos dice que \( u=f(r) \) donde \( r = \sqrt{x^2+y^2} \) , eliminar las variables x e y

[Masacroso]

Buenas Masacroso,

Es cierto nos dice que u =f(r) donde r = \( \sqrt[ ]{x^2+y^2} \) , eliminar las variables x e y

Vamos a ver si te sigo... dices que \( r=\sqrt{x^2+y^2} \) y que \( f(r)=\sqrt{x^2+y^2} \), entonces \( f(r)=r \), ¿no?

Entonces tenemos que el laplaciano (lo que te piden de \( f \)) tiene la forma

\( \displaystyle \Delta f(x,y)=\partial^2_1 f(x,y)+\partial^2_2 f(x,y)=\partial_1\left(\frac{x}{r}\right)+\partial_2\left(\frac{y}{r}\right)=2r^{-1}-\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=r^{-1} \)

Nota: la notación \( \partial^2_1 f(x,y) \) es equivalente (en este caso) a \( \frac{\mathrm d^2 f}{\mathrm d x^2} \). Por tanto se cumple lo dicho, es decir, que

\( \displaystyle \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm d x^2}+\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm d y^2} = f^{\prime\prime}(r)+\displaystyle\frac{1}{r} f^{\prime}(r) \)

ya que \( f'(r)=1 \) y, consecuentemente, \( f''(r)=0 \).

CORREGIDO.

[franjgg]

Si así es, el primer enunciado estaba incompleto lo correcto es que  u = f(r) donde r = \( \sqrt[ ]{x^2+y^2} \)

[franjgg]

Masacroso Muchas gracias por tu tiempo.

Entonces lo que nos piden con la expresion de "eliminar las variables" es que encontremos la derivadas primeras y posteriormente las segundas, es cierto esto?


Saludos y gracias de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces lo que nos piden con la expresion de "eliminar las variables" es que encontremos la derivadas primeras y posteriormente las segundas, es cierto esto?

Que te piden las derivadas primeras y después de la segundas es simplemente que te soliciten calcular:

\( \dfrac{d^2u}{dx^2}+\dfrac{d^2u}{dy^2} \)

Lo de "eliminar las variables \( x \) e \( y \)" se refiere a que, si  es posible, des el resultado en función de r, sin que aparezcan además las variables \( x \) e \( y \).

Por cierto, Masacroso ha supuesto que \( f(r)=r \); pero no es el caso creo. En general te piden trabajar con \( u=f(r) \) siendo \( r=\sqrt{x^2+y^2}. \)

De todas haciendo algo análogo a lo hecho por él se llega a los mismo para el caso general. Inténtalo.

Por ejemplo:

\( \dfrac{du}{dx}=f'(r)\cdot \dfrac{x}{r} \)

\( \dfrac{d^2u}{dx^2}=f''(r)\cdot \dfrac{x^2}{r^2}+f'(r)\dfrac{r^2-x^2}{r^3} \)

Continúa...

Saludos.

[Masacroso]

Claro, debe ser como dice Luis, eso tiene más sentido, buscar el caso general. Así que el enunciado no estaba del todo correcto.

[franjgg]

Muchas gracias a los dos, ahora lo entiendo mucho mejor, soy estudiante de Física primer año y estoy empezando con las derivadas de orden superior como se puede apreciar y algunas cosas se me escapan. Felicidades por el foro.

Gracias de nuevo.

Saludos!!

[franjgg]

Buenas!!

Masacroso, una cosa por que dices que \( f^{\prime}(r)=1 y f^{\prime\prime}(r)=0 \), no entiedo por que tienen este valor y otra cosilla es que el resultado de estas dos derivadas parciales segundas que nos dice el ejercicio no deberia de dar algo como:

\(  f^{\prime\prime}(r) * \displaystyle\frac{x^2}{r^2}+f^{\prime\prime}(r) * \displaystyle\frac{y^2}{r^2} \)

Bueno, saludos!!