Autor Tema: Axiomas de bidimensionabilidad del espacio

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27 Diciembre, 2017, 03:31 pm
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alexpglez

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Buenas tardes, Feliz Navidad!!

Estaba siguiendo el tratamiento axiomático de Hilbert a la geometría por el libro de Carlos Ivorra. Éste libro introduce dos axiomas necesarios para afirmar que el espacio es tridimensional, pero no introduce cuáles serían para afirmar que el espacio fuese bidimensional. He buscado en internet y no encontré nada al respecto, tampoco en las versiones actuales del libro original de Hilbert.

Mi pregunta es:
¿Qué axiomas habría que añadir para afirmar que el espacio tiene 2 dimensiones? ¿Se podría eludir hablar de planos?

Un axioma evidente sería:
Existe 3 puntos no coliniales. (Si hablamos de planos, basta decir que el conjunto de los planos no es vacío)

Pero el segundo no me queda claro si se podría formular con el lenguaje de rectas y puntos. Si añadimos los planos, aventuro que valdría alguno de los siguientes:
Existe un único plano.
El espacio pertenece al conjunto de los planos.
Dos rectas nunca se cruzan.


Si quisiésemos axiomatizar que el espacio fuese de dimensión más alta (y dar el número exacto), ¿sería necesario añadir más lenguaje que punto, recta y plano?

Gracias, saludos

27 Diciembre, 2017, 04:07 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Te estoy contestando ojeando "en diagonal" el libro de Ivorra. ¿Pero no es lo que pone en la página 13?:

https://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria2.pdf

Saludos,

27 Diciembre, 2017, 04:12 pm
Respuesta #2

alexpglez

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Hola

 Te estoy contestando ojeando "en diagonal" el libro de Ivorra. ¿Pero no es lo que pone en la página 13?:

https://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria2.pdf

Saludos,
Hola.
No, lo que dice en la página 13 es lo exigible para que el espacio tenga al menos dimensión 2, sin necesidad de hablar de planos.
Mi pregunta es cómo hacer que sea justo 2.

Saludos

27 Diciembre, 2017, 04:38 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

No, lo que dice en la página 13 es lo exigible para que el espacio tenga al menos dimensión 2, sin necesidad de hablar de planos.
Mi pregunta es cómo hacer que sea justo 2.

Pero yo insisto en que si lo está explicando en las páginas 13 y 14. Esta explicando como desarrollar una geometría plana; fíjate que comienza:

"Concretamente, podemos definir una geometría plana de Hilbert como un conjunto \( \mathbb{P} \) al que llamaremos “plano”,..."

En esa frase se está asumiendo que hay un único plano. Y luego expone los tres axiomas que sustiyuen a los cinco que dio antes y como adaptar lo demás a ese contexto. En seas condiciones la dimensión es dos y no más.

Saluidos.

27 Diciembre, 2017, 08:07 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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Hola. A ver si medio un poco:

Lo que digo en la página 13 es que, si uno está interesado únicamente en la geometría plana, entonces puede simplificar los axiomas eliminando el concepto de plano, pero es cierto que, aunque llamemos "plano" al conjunto de todos los puntos, eso no impide que los puntos de un espacio euclídeo de dimensión 3 o 17 cumplan los axiomas A1, A2 y A3 de la geometría plana, luego con ellos "todavía no está dicho" que el conjunto de todos los puntos del plano es realmente un plano.

La cosa cambia si definimos el paralelismo bidimensionalmente (es decir, como que dos rectas son paralelas si no tienen puntos en común) y añadimos el axioma de las paralelas (por un punto exterior a una recta pasa una única paralela). Eso ya hace que el plano sea bidimensional por necesidad.

Básicamente, esto es consecuencia del teorema 1.37 (que puede probarse de forma mucho más simple en el caso de la geometría plana) que dice que el paralelismo es una relación de equivalencia. Eso hace que, dadas dos rectas \( r_1 \) y \( r_2 \) que se corten en un punto (dos ejes coordenados) y un punto cualquiera \( P \) del plano (sólo presuntamente bidimensional), la recta paralela a \( r_2 \) que pasa por \( P \) corta a \( r_1 \) en un único punto \( P_1 \) y la paralela a \( r_1 \) por \( P \) corta a \( r_2 \) en un único punto \( P_2 \), de modo que \( P \) está completamente determinado por \( (P_1, P_2) \) y, viceversa, cada par de puntos en los ejes determina un único punto del plano (que ahora ya es plano de verdad).

Eso no está desarrollado en el capítulo I porque en él se presenta la geometría absoluta tridimensional, y los comentarios de la página 13 sólo pretenden advertir de que toda la presentación se puede simplificar si queremos restringirnos al caso bidimensional.

A la hora de tratar el concepto de dimensión en general, hay dos caminos:

Si no queremos usar el axioma de las paralelas, entonces tenemos que apoyarnos fuertemente en los axiomas de ordenación. Igual que en la sección 1.3 se define el concepto de variedad afín partiendo de que ya tenemos los conceptos de punto, recta y plano, es posible partir únicamente de los conceptos de punto y recta para definir "plano", y entonces se puede tomar como axioma que el conjunto de todos los puntos es un plano en este sentido afín.

Si partimos del axioma de las paralelas, entonces estamos propiamente en el contexto de la geometría afín y los axiomas de ordenación se vuelven innecesarios para hablar de dimensión. Ese enfoque está discutido más adelante, en el capítulo VIII. Concretamente, en 8.8 tienes una definición de dimensión que, nuevamente, te permite postular como axioma que la dimensión del espacio es 2 (o se puede demostrar si hemos incrustado la bidimensionalidad en el concepto de paralelismo como he indicado antes).

Un enfoque alternativo basado en los axiomas de ordenación es la geometría de Tarski, que expongo aquí:

https://www.uv.es/ivorra/Libros/AlgGeo.pdf

28 Diciembre, 2017, 01:56 pm
Respuesta #5

alexpglez

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Comprendo, gracias Carlos.

Entiendo entonces que axiomáticamente la geometría de Hilbert está muy limitada (sobretodo al tratar las dimensiones). Que es más general la axiomática de la geometría afín.

28 Diciembre, 2017, 04:19 pm
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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La geometría afín axiomática es equivalente a la algebraica, es decir, es la geometría que cumplen los espacios \( K^n \), donde \( K \) es un cuerpo arbitrario.

La axiomática de Hilbert está pensada, por una parte, para evitar hasta el último momento el axioma de las paralelas (que es esencial en la geometría afín) apoyándose en su lugar en los axiomas de ordenación. No sé muy bien en qué sentido dices que es más limitada. Tu pregunta inicial iba encaminada a cerrar el espacio en dimensión 2, y el problema no es tanto cómo lograrlo, sino cómo afirmarlo. Un camino es definir (a partir de los axiomas de la página 13) el concepto de variedad afín bidimensional (análogamente a como en la sección 1.3 defino el concepto de variedad afín tridimensional partiendo de que ya tenemos el concepto de plano como concepto básico de la geometría tridimensional) y postular que el espacio es una variedad afín bidimensional.

Si ahora estás pensando más bien en lo contrario, es decir, en cómo tratar con espacios de dimensión arbitraria desde la axiomática de Hilbert, tampoco hay ningún problema en definir el concepto general de variedad afín n-dimensional y postular que el espacio completo lo es. La forma de hacerlo está desarrollada en mi libro sobre la geometría de Tarski, pero el procedimiento es válido también en el contexto de la geometría de Hilbert, no depende de que se parta concretamente de unos u otros axiomas.