Autor Tema: Sistema de 2 ecuaciones diferenciales

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17 Diciembre, 2017, 12:17 pm
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Nacho_Fernández

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Hola a todos, tengo este problema, no estoy seguro cómo enfocarlo.
Demostrar que todas las soluciones del sistema \( \vec{x'}=A\vec{x}=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}\vec{x} \)
se aproximan a 0 cuando t tiende a infinito si y solo si \( a+d<0 \) y \( ad-bc>0 \)
\( \vec{x'} \) sería \( (\displaystyle\frac{dx}{dt},\displaystyle\frac{dy}{dt}) \) y \( \vec{x} \) sería \( (x,y) \)

17 Diciembre, 2017, 12:45 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Pues podría empezar por hallar el conjunto de soluciones y comprobar que ocurre lo estipulado. No se me ocurre otro modo ahora mismo.

Spoiler
Es decir, el conjunto de soluciones de la ecuación es \( u(t)=e^{tA}c_0 \) para cualquier \( u(0)=:c_0 \). Entonces todo se reduce a ver qué forma tiene la matriz \( e^{tA} \) con los datos dados, hacer alguna descomposición de la misma (o no) y demuestrar que la función tiende a cero cuando \( t \) tiende a infinito.
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17 Diciembre, 2017, 01:10 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Hola a todos, tengo este problema, no estoy seguro cómo enfocarlo. Demostrar que todas las soluciones del sistema \( \vec{x'}=A\vec{x}=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}\vec{x} \) se aproximan a 0 cuando t tiende a infinito si y solo si \( a+d<0 \) y \( ad-bc>0 \) \( \vec{x'} \) sería \( (\displaystyle\frac{dx}{dt},\displaystyle\frac{dy}{dt}) \) y \( \vec{x} \) sería \( (x,y) \)

Sugerencia.Si \( \lambda_1,\lambda_2 \) son los valores propios de \( A \), entonces \( \lambda_1+\lambda_2=\text{traza }A=a+d < 0 \) y \( \lambda_1\lambda_2=\det A= ad-bc>0 \) con lo cual, \( \lambda_1 < 0 \) y \( \lambda_2 < 0 \). Las soluciones del sistema son del tipo \( (x,y)^T=b_1e^{\lambda_1t}v_1+b_2e^{\lambda_2t}v_2 \) con \( b_1,b_2 \) variables y \( \left\{{v_1,v_2}\right\} \) base de \( \mathbb{R}^2 \)

17 Diciembre, 2017, 01:58 pm
Respuesta #3

Nacho_Fernández

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Muchas gracias! Sin duda, una respuesta muy elegante  :D