Sisi la lei, pero eso de cociclicos y excentro todabia no lo vi, y al buscar en internet me termino confundiendo demasiado. Te agradeceria si podes usar otra forma, por ejemplo con las tangentes se podra?. La idea es demostrarlo para uno noequilatero como decias vos.
Un par de rectas que se cortan en un punto tienen un par de bisectrices, que son el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas. Es inmediato ver que deben ser perpendiculares y evidentemente pasan por el mismo punto en que se cortan las rectas. Cada una de ellas se corresponde con la bisectriz usual de un par de ángulos opuestos por el vértice. Respecto a cada uno de estos ángulos, una es interior al ángulo y otra exterior al ángulo.
La bisectriz \( b_{C} \) del ángulo \( C \) y las bisectrices exteriores de los ángulos \( A\textrm{ y }B, b'_{A}\textrm{ y }b'_{B} \), se cortan en un único punto. En efecto, el punto de corte de \( b'_{A}\textrm{ y }b'_{B} \) equidista de las
rectas \( AB\textrm{ y }AC \) por estar en \( b'_A \), y de las rectas \( AB\textrm{ y }BC\textrm{ por estar en }b'_B \), por lo que equidista de las rectas \( AC\textrm{ y }BC \) y está en \( b_C \). Es el punto que en la figura se rótula com \( I_C \). Se suele llamar excentro correspondiente al lado \( c \), pues es el centro de la circunferencia ex-incrita, tengente al lado \( c \) y a las prolongaciones de \( a\textrm{ y }b \), aunque ahora eso no nos importa mucho.
Por tanto, los ángulos \( \angle IAI_C\textrm{ y }\angle IBI_C \) son rectos, por lo que los puntos \( A y B \) están sobre una circunferencia de diámetro \( II_C \). Es decir, los cuatro puntos están en la misma circunferencia, son conciclícos. Para completar tu problema, nos falta ver que el centro de esta circunferencia es el punto en que la bisectriz \( b_C \) corta a la circunferencia circunscrita, \( F \) en la figura.
Como deconocemos cual es exactamente el centro de la circunferencia AIB, llamemosle F' y tratemos de ver que F' = F.
En el \( \triangle AIB \), tenemos que:
\( \angle AIB = 180^\circ{} - \angle IAB - \angle IBA= 180^\circ{} -\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = 180^\circ{} -(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}+
\frac{\gamma}{2}) + \frac{\gamma}{2} = 180^\circ{} - 90^\circ{} +\frac{\gamma}{2} = 90^\circ{} +\frac{\gamma}{2} \)
Como el cuadrilátero \( AIBI_C \) está inscrito, tenemos que
\( \angle BI_CA = 180^\circ{}- \angle AIB = 90^\circ{} -\frac{\gamma}{2} \)
Por tanto, como el ángulo central mide el doble que el inscrito, el centro de la circunferencia AIB debe estar en el arco desde el que se ve el segmento AB con un ángulo doble que ese: \( 180^\circ{} -\gamma \). Como este es el suplementario de \( \angle ACB \), resulta que F' debe estar en la circunferencia circunscrita al \( \triangle ABC \). Pero además, debe estar en la mediatriz de su cuerda AB. Que también lo es de la circunferencia circunscrita, por lo que corta a al arco AB de la circunferencia circunscrita que no contiene a \( C \) en su punto medio.
Pero este es justamente el punto \( F \), pues los dos ángulos iguales en que \( b_C \) divide a \( \angle ACB \) determinan cuerdas y arcos iguales en la circunferencia circunscrita. Por tanto, \( F \) es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos \( A, I\textrm{ y }B \), y equidista de los tres.
No se si puede hacerse de forma más sencilla, pero me encantaría saberlo.
Saludos,
