Autor Tema: Ejercicio convergencia de un método iterativo.

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15 Diciembre, 2017, 07:41 am
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garmonvir

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Buenos días, necesito un poco de ayuda con el siguiente ejercicio.

Para calcular una raíz de la ecuación
\( \displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{1}{x}+x=0     \)(3.4)
Se considera el siguiente método iterativo:
\( x_{n+1}=\displaystyle\frac{x_n}{2}+\displaystyle\frac{1}{x_n}    \) n=0,1,...   (3.5)
a) Puedes asegurar que para cualquier iterante inicial \( x_0 \in{[1,2]} \) la sucesión de iterantes
\( \left\lbrace  x_n\right\rbrace_{n\in{N}} \)proporcionada por el método iterativo anterior converge hacia una raíz de la
ecuación (3.4)?
b) ¿Cuántos iterantes realizarías para estar seguro de cometer un error menor de \( 10^{-3} \)
al aproximar una raíz de la ecuación (3.4) con el método iterativo (3.5) partiendo de
\( x_0=1,5 \)?


Muchas gracias.

15 Diciembre, 2017, 09:31 am
Respuesta #1

Masacroso

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Parece que hay algo erróneo en el enunciado. Si se trata de utilizar el teorema del punto fijo de Banach la recurrencia debería ser \( -\frac1{x_n}-\frac{x_n}2=x_{n+1} \) o la ecuación debería ser ésta otra \( x/2+1/x-x=0 \), y en este último caso habría que ver si la función \( g:[1,2]\to\Bbb R,\, x\mapsto 1/x+x/2 \) es una contracción. En principio hay que ver si la imagen de \( g \) está contenida en \( [1,2] \) y si su derivada no es mayor o igual, en valores absolutos, a 1. Hecha un vistazo aquí.

Si lo de arriba no se cumpliese habría que mirar otros teoremas o demostrar, con un ejemplo, que existe un punto para el cual la recurrencia no converge.

Luego, en la teoría, tienes que tener estimaciones para el error al buscar la raíz con una iteración.

15 Diciembre, 2017, 09:57 am
Respuesta #2

garmonvir

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Muchas gracias, he vuelto a mirar el enunciado por si hubiera cometido al copiarlo pero no. Lo que me has explicado lo había pensado, pero no me cuadraba con lo que ponía en el enunciado.

Gracias por la ayuda

15 Diciembre, 2017, 10:09 am
Respuesta #3

Masacroso

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Muchas gracias, he vuelto a mirar el enunciado por si hubiera cometido al copiarlo pero no. Lo que me has explicado lo había pensado, pero no me cuadraba con lo que ponía en el enunciado.

Gracias por la ayuda

Pero hay algo erróneo en el ejercicio ya que \( x/2+1/x+x>0 \) para todo \( x\in[1,2] \), lo cual se puede ver con un estudio breve de la función \( f:[1,2]\to\Bbb R,\, x\mapsto x/2+1/x+x \) por tanto esa ecuación no tiene raíces en \( [1,2] \) (y analizando la función en la recta real también se puede ver que, en general, carece de raíces reales esa ecuación.)

15 Diciembre, 2017, 10:43 am
Respuesta #4

garmonvir

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Sí, lo entiendo. Será una errata.

Muchas gracias