Autor Tema: Ejercicio Introducción a la Lógica

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14 Febrero, 2008, 05:35 pm
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Goldbach

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Antes que nada, felicitar tanto al administrador como a los moderadores y a todas aquellas personas que participan en este foro ofreciendo su ayuda de manera desinteresada, algo que no se suele ver en otros muchos foros. Aunque conozco la página desde hace varios meses, hasta hoy no me había animado a registrarme y el causante ha sido un problema de lógica con el que espero me podáis ayudar, ya que aunque conozco la teoría no sé hacer ninguno de los apartados. El ejercicio dice así:

Escríbase la negación de cada una de las expresiones siguientes:

i)       \( A\subseteq{B} \), es decir, \( \forall{a}\in{A}, a\in{B} \)
ii)      \( b\in{f(S)} \), es decir, \( \exists{a}\in{S} \) tal que f(a)=b
iii)      \( a\in{\cap{A_i} \), es decir, \( \forall{i}\in{I}, a\in{A_i} \)
iv)     \( a\in{\cup{A_i} \), es decir, \( \exists{i}\in{I} \) tal que \( a\in{A_i} \)
v)      \( (a_1,..., a_n)\in{\displaystyle\prod_{i=1}^{i=n}{A_i} \), es decir, \( \forall{i}\in{\left\{{1,..., n}\right\}}, a_i\in{A_i} \)
vi)     \( A\subseteq{R} \) está acotado superiormente, es decir, \( \exists{M}\in{R} \) tal que \( \forall{a}\in{A},a\leq{M} \)
vii)    \( (x_n) \) es de Cauchy, es decir, \( \forall{\epsilon}>0, \exists{n_0}\in{N} \) tal que \( \forall{n,m}\geq{n_0}, \left |{x_n-x_m}\right |<\epsilon \)
viii)    \( (x_n)\rightarrow{x} \), es decir, \( \forall{\epsilon}>0, \exists{n_0}\in{N} \) tal que \( \forall{n}\geq{n_0}, \left |{x_n-x}\right |<\epsilon \)

Editado por admin: para poner \( \epsilon \) debes escribir \epsilon . Ahora que lo sabes puedes editar este post

14 Febrero, 2008, 09:30 pm
Respuesta #1

Ked

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Ten en cuenta

- Si yo te digo "todos los perros son marrones". ¿Cuál es la negación?
Spoiler
Existe UN perro que no es marrón (eventualmente pueden existir más, pero si existen 100 entonces existe 1)
[cerrar]

- Si digo "existe un perro que es verde". ¿Cuál es la negación?
Spoiler
No hay ningún perro que es verde. O lo que es lo mismo, todos los perros NO SON VERDES.
[cerrar]

Más formalmente podemos remitirnos a la lógica. Si tenemos una propiedad P(x) entonces.

\( \neg\forall x P(x) \) es equivalente a \( \exists x \neg P(x) \)
\( \neg\exists x P(x) \) es equivalente a \( \forall x \neg P(x) \)

Entendido esto puedes pasar a resolver tus ejercicios.

Por ejemplo el primero

La negación de \( \forall{a}\in{A}, a\in{B} \) (caemos en el primer caso) es \( \exists a \in{A}, a \not\in{B} \)

Alguno más complicado, por ejemplo negar la definición de límite (y te lo digo con palabras)

Si dicen "para todo epsilon existe delta tal que bla bla" entonces su negación sería "existe UN epsilon tal que PARA TODO delta NO bla bla ;)

Te dejo los ejercicios, que espero puedas resolver ahora. Si tienes duda en algún apartado preguntas.

Saludos

15 Febrero, 2008, 12:10 am
Respuesta #2

Goldbach

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Entonces, según lo que me has dicho, ¿quedaría así?

i)       \( A\not\subset{B} \), es decir,\(  \exists{a}\in{A} \) tal que \( a\not\in{B} \)
ii)      \( b\not\in{f(S)} \), es decir,\(  \forall{a}\in{S} \), \( f(a)\neq{}b \)
iii)      \( a\not\in{\cap{A_i} \), es decir, \( \exists{i}\in{I} \) tal que \( a\not\in{A_i} \)
iv)     \( a\not\in{\cup{A_i}} \), es decir, \( \forall{i}\in{I} \), \( a\not\in{A_i} \)
v)      \( (a_1,...,a_n)\not\in{\displaystyle\prod_{i=1}^{i=n}{A_i}} \), es decir, \( \exists{i}\in{\left\{{1,..., n}\right\}} \) tal que \(  a_i\not\in{A} \)
vi)      \( A\subseteq{R} \) no está acotado superiormente, es decir, \( \forall{M}\in{R} \), \( \exists{a}\in{A}, a\geq{M} \)
vii)     \( (x_n) \) no es de Cauchy, es decir, \( \exists{\epsilon}>0, \forall{n_0}\in{N} \), \( \exists{n,m}\geq{n_0}, \left |{x_n-x_m}\right |>\epsilon \)
viii)    \( (x_n)\not\rightarrow{x} \), es decir, \( \exists{\epsilon}>0, \forall{n_0}\in{N} \), \( \exists{n}\geq{n_0}, \left |{x_n-x}\right |>\epsilon \)

Editado con las soluciones correctas. Gracias.

15 Febrero, 2008, 02:24 am
Respuesta #3

Ked

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i) Bien.

ii) Bien. Pero un comentario, sobre como usas el "tal que". Fíjate que no tiene sentido decir \( \forall{a}\in{S} \mbox{ tal que } f(a) \neq b \). La forma correcta de decirlo sería \( \forall{a}\in{S}, f(a) \neq b \) donde la "," actúa como "se cumple que".

iii) Bien.

iv) Bien. Mismo comentario sobre el "tal que".

v) Bien.

vi) Bien. Mismo comentario sobre el "tal que".

vii) Mal. Mismo comentario sobre el "tal que".

viii) Mal. Mismo comentario sobre el "tal que".


En las dos que están mal, cometiste el mismo error. A ver si te das cuenta cúal es.


Saludos