[cibernarco]

Hola! Estoy trabajando con el grupo de transformaciones del plano (complejo) y me surgieron unas dudas a medida que voy leyendo la teoría.
Luego de ver lo que es la distancia en ese plano, es decir entre dos números complejos y ver el tema de perpendicularidad. Surge el siguiente teorema que no logro entender muy bien:
Sean \( z_1= a_1+ib_1 y z_2= a_2+ib_2   \) dos números complejos. Las condiciones siguientes son todas equivalentes entre si:

a)\( \left |{z_1+z_2}\right |^2=\left |{z_1}\right |^2 +\left |{z_2}\right |^2 \)

b) \( \left |{z_1-z_2}\right |^2=\left |{z_1}\right |^2 +\left |{z_2}\right |^2 \)
c)\( z_1. \overline{z_2} +\overline{z_1}.z_2= 2(a_1.a_2+b_1.b_2=0 \)

d) \( (a_1.a_2+b_1.b_2=0 \)

e) existe r pertenecientes a los reales tal que: \( z_1=r.i.z_2   o   z_2=0 \)

Bueno mi problema comienza acá, cuando empieza con al demostración, dice asi:

Demostración:

Observemos la siguiente relación:  \( \left |{z_1+z_2}\right |^2= (z_1\pm{z_2}).\overline{(z_1\pm{z_2}).} \)

Continua desarrollando la demostración, pero no logro entender de donde sale esa relación ¿Me podrían ayudar?

[manooooh]

Hola,

a)\( \left |{z_1+z_2}\right |^2=\left |{z_1}\right |^2 +\left |{z_2}\right |^2 \)

Demostración:

Observemos la siguiente relación:  \( \left |{z_1+z_2}\right |^2= (z_1\pm{z_2}).\overline{(z_1\pm{z_2}).} \)

Voy a tratar de ayudar :

Sean \( z = a + bi \) y \( \overline{z} = a - bi \) dos números complejos (supongo que sabés el conjugado de un complejo). Si definimos

\( z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 \in \mathbb{R} \).

Luego \( z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2 = {|z|}^2  \; \therefore \; \boxed{z \cdot \overline{z} = {|z|}^2} \). De acá surge.


Si tenés problemas para seguir preguntá!

Saludos

[Fernando Revilla]

Observemos la siguiente relación:  \( \left |{z_1+z_2}\right |^2= (z_1\pm{z_2}).\overline{(z_1\pm{z_2}).} \).Continua desarrollando la demostración, pero no logro entender de donde sale esa relación ¿Me podrían ayudar?

Por ejemplo, se verifica

          \( \left|z_1+z_2\right|^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})=\ldots=\left|z_1\right|^2+2\text{Re }(z_1\overline{z_2})+ \left|z_2\right|^2 \).

Entonces, la igualdad \( \left|z_1+z_2\right|^2=\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2 \) equivale a \( 2\text{Re }(z_1\overline{z_2})=0 \) que a su vez equivale a \( a_1a_2+b_1b_2=0. \)