Autor Tema: Limite de sucesión de funciones

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12 Diciembre, 2017, 11:47 pm
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Iziro

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Calcular \( lim_{n\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}(1+x/n)^{-n}sen x/n \)

Tenemos que para cada n \( \left |f_n=\left(1+\displaystyle\frac{x}{n}\right)^{-n}sen \displaystyle\frac{x}{n}\right |\leq{e^{-x}} \)  y \( f_n \) converge puntualmente a cero
por el teorema de convergencia dominada la integral es cero.

Es correcto??

Muchas gracias.

13 Diciembre, 2017, 12:33 am
Respuesta #1

mario

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Por favor, corrige el título.

13 Diciembre, 2017, 06:09 am
Respuesta #2

Masacroso

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No, no es correcto. Observa que \( \left(1+\frac{x}n\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}k\left(\frac{x}n\right)^k\le\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\le e^x \), por tanto \( \left(1+\frac{x}n\right)^{-n}\ge e^{-x} \).

12 Diciembre, 2017, 08:13 pm
Respuesta #3

Iziro

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Es verdad
Alguna sugerencia de como podria salir?

13 Diciembre, 2017, 06:20 am
Respuesta #4

Masacroso

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Es verdad
Alguna sugerencia de como podria salir?

Ni idea amigo. Lo que se puede observar es que cuando \( \require{cancel}\cancel{|\sin(x/n)|<\frac{n!}{n^n}} \) entonces se cumple la desigualdad \( \cancel{\left|\left(1+\frac{x}n\right)^{-n}\sin(x/n)\right|\le e^{-x}} \). Otra cosa que se puede hacer es estimar el valor de la integral impropia tanto por arriba como por abajo y hacer un sándwich.

Edición: no, lo tachado no es correcto, había olvidado la cola de la serie de \( e^x \).

13 Diciembre, 2017, 06:22 am
Respuesta #5

Iziro

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Y no se podria usar esa desigualdad y usar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue??

Para n suficientemente grande?


Estoy pensando como haber, es que es del curso de medida

12 Diciembre, 2017, 09:55 pm
Respuesta #6

Gustavo

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La sucesión \( (1+\frac{x}{n})^{-n} \) es decreciente en \( n \) y la función para \( n=2 \) es integrable en \( [0,\infty) \).

18 Diciembre, 2017, 01:55 am
Respuesta #7

mario

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