Autor Tema: ¿Cómo hallar polinomio de grado mínimo dadas dos condiciones?

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10 Diciembre, 2017, 11:30 pm
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Luis Fontaine

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Hola,  espero  que  puedan  ayudarme  con  este  problema  pues  llevo  un  rato  dándole  vueltas  y  no  consigo  hallar  el  valor.

Escriba  un  polinomio  de  grado  mínimo  que  tenga  como  raíz  doble  a \(  1     \) y  como  raíz  simple  a \( (1-i),\hspace{0.3cm} \)y tal que \(  f(0)=2\hspace{0.5cm}y\hspace{0.5cm}f(-1)=-10 \) 

entiendo que la otra raíz debe ser el conjugado de \( (1-i),\hspace{0.1cm} \)es decir:
\(  f(x)=  a  (x-1)^2  (x-1-i)(x-1+i) \)
\(  f(x)=  a  (x-1)^2  ((x-1)^2+1) \)

Sin embargo al momento de evaluar para satisfacer las condiciones de\( f(0)\hspace{0.1cm}y\hspace{0.1cm}f(-1) \) la constante \( a\hspace{0.1cm} \)varía y no logro encontrar una manera de hallar una que cumpla ambas condiciones. Saludos

11 Diciembre, 2017, 12:39 am
Respuesta #1

Masacroso

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Si con una constante no hay soluciones ve añadiendo raíces del tipo \( (x-b) \). Otra forma de hacerlo es utilizar polinomios de interpolación de Lagrange, pero de esa manera no tengo claro que se pueda demostrar fácilmente un polinomio mínimo.

11 Diciembre, 2017, 01:51 am
Respuesta #2

Protágoras

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Hola Luis.

También podrías considerar tu constante como un polinomio \( a=a(x) \) y usar tus otras dos condiciones. Nota que \( f(x)-2 \) tiene una raíz \( x=0 \) y \( f(x)+10 \) tiene una raíz \( x=-1 \). Luego tendrás dos nuevas condiciones  \( a(0)=y_1,\ \ a(-1)=y_2 \) y recuerda que por dos puntos pasa una única recta (con el grado mínimo ).

Es una idea, espero que te ayude.

11 Diciembre, 2017, 02:06 am
Respuesta #3

Abdulai

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Con  \( f(x) = a(x-1)^2\left((x-1)^2+1\right)  \)  solamente vas a poder satisfacer una condición mas, salvo casos particulares.

Necesitás que el polinomio tenga un grado mas:

\( f(x) = (x-1)^2\left((x-1)^2+1\right)(ax+b) \)

\( f(0) = 1\cdot \left(1+1\right)b = 2 \;\;\longrightarrow\;\;b=1 \)
\( f(-1) = (-2)^2\left((-2)^2+1\right)(-a+b)=-10\;\;\longrightarrow\;\;a=\dfrac{3}{2} \)

11 Diciembre, 2017, 03:52 am
Respuesta #4

Luis Fontaine

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Con  \( f(x) = a(x-1)^2\left((x-1)^2+1\right)  \)  solamente vas a poder satisfacer una condición mas, salvo casos particulares.

Necesitás que el polinomio tenga un grado mas:

\( f(x) = (x-1)^2\left((x-1)^2+1\right)(ax+b) \)

\( f(0) = 1\cdot \left(1+1\right)b = 2 \;\;\longrightarrow\;\;b=1 \)
\( f(-1) = (-2)^2\left((-2)^2+1\right)(-a+b)=-10\;\;\longrightarrow\;\;a=\dfrac{3}{2} \)



¡Gracias! :laugh: me había dejado llevar por la idea de que el polinomio forzosamente debía ser de cuarto grado y no consideré esa opción.
Saludos ;)

11 Diciembre, 2017, 06:22 am
Respuesta #5

ingmarov

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Hola

Un pequeño agregado


...y tal que \(  f(0)=2\hspace{0.5cm}y\hspace{0.5cm}f(-1)=-10 \) 
...

Con estas condiciones, sabemos que, aplicando Bolzano, entre -1 y 0 debe haber una raíz.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

11 Diciembre, 2017, 11:19 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Escriba  un  polinomio  de  grado  mínimo  que  tenga  como  raíz  doble  a \(  1     \) y  como  raíz  simple  a \( (1-i),\hspace{0.3cm} \)y tal que \(  f(0)=2\hspace{0.5cm}y\hspace{0.5cm}f(-1)=-10 \) 

entiendo que la otra raíz debe ser el conjugado de \( (1-i),\hspace{0.1cm} \)es decir:
\(  f(x)=  a  (x-1)^2  (x-1-i)(x-1+i) \)
\(  f(x)=  a  (x-1)^2  ((x-1)^2+1) \)

Sin embargo al momento de evaluar para satisfacer las condiciones de\( f(0)\hspace{0.1cm}y\hspace{0.1cm}f(-1) \) la constante \( a\hspace{0.1cm} \)varía y no logro encontrar una manera de hallar una que cumpla ambas condiciones. Saludos

 Un pequeño matiz; estamos sobrentendiendo que nos pide un polinomio con coeficientes reales; eso justifica que si tiene una raíz compleja, también deba de aparecer su raíz conjugada.

 Si el polinomio es con coeficientes complejos, una raíz compleja no implica que su conjugado sea también raíz.

 Por eso sería deseable que el enunciado especificase que se busca un polinomio en los reales.

Saludos.