Autor Tema: Imagen inversa de un sheaf

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10 Diciembre, 2017, 02:19 am
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Protágoras

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Hola a todos, mi problema es el siguiente:

Sea \( f:X\rightarrow Y \) y \( g:Y\rightarrow Z \) mapas continuos. Sea \( \mathcal{H} \) un sheaf sobre \( Z \). Tengo que probar que \( f^{-1}(g^{-1}\mathcal{H})=(g\circ f)^{-1}\mathcal{H} \). (Ejercicio 2.6 del capítulo 2 del libro de Qing Liu)

En el libro de Algebraic Geometry de Ulrich Görtz encontré una sugerencia de verificar primero que los pre-sheaves son iguales, es decir: \( f^{+}(g^{+}\mathcal{H})=(g\circ f)^{+}\mathcal{H} \) (donde \( f^{+}\mathcal{F}(U)=\displaystyle\varinjlim_{ V\supseteq{f(U)}}{\mathcal{F}(V)} \) con \( \mathcal{F} \) un sheaf). Para luego concluir que las sheafification son isomorfas \( f^{-1}(g^{-1}\mathcal{H})\cong (g\circ f)^{-1}\mathcal{H} \).

Mi primera duda es: ¿Cómo es una igualdad de pre-sheaves (o sheaves) \( \mathcal{F}=\mathcal{G} \)?,¿basta probar que para cada \( U\subset X \) se tiene que \( \mathcal{F}(U)=\mathcal{G}(U) \)? No encontré referencia sobre ello.

Y estoy tratando de "hacer las cuentas" y tengo dudas de si el camino es correcto. Pues no consigo dar la forma a la igualdad de los pre-sheaves: \( f^{+}(g^{+}\mathcal{H})(U)=\displaystyle\varinjlim_{V \supseteq{f(U)}}(\displaystyle\varinjlim_{W \supseteq{g(V)}}\mathcal{H}(W))=\displaystyle\varinjlim_{V\supseteq g(f(U))}\mathcal{H}(V)=(g\circ f)^{+}\mathcal{H}(U) \)

Tal vez hay alguna propiedad del límite directo?

Si alguien me puede dar más pistas sobre como resolver el problema se lo agradezco de antemano.