Autor Tema: Aplicación lineal cumpliendo condiciones (3)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Diciembre, 2017, 08:48 pm
Leído 367 veces

ytrusx

  • Junior
  • Mensajes: 27
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Les pongo otro ejercicio más que me resulta confuso porque aquí ni siquiera dan subespacios de los que extraer bases y la condición principal es bastante abstracta:

3. Hallar una aplicación lineal \( \mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3} \) en su forma \( f(x,y,z)=(...) \) tal que se cumpla que
\( f(Imf)=Kerf \)
\( f(1,1,1)=(2,1,1) \)

Probablemente la idea detrás de este ejercicio sea realmente sencilla pero indudablemente me confunde esa primera condición que se nos exige cumplir. A ver si alguien me puede ayudar, por favor.

Muchísimas gracias de antemano.

10 Diciembre, 2017, 11:18 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,417
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Les pongo otro ejercicio más que me resulta confuso porque aquí ni siquiera dan subespacios de los que extraer bases y la condición principal es bastante abstracta:

3. Hallar una aplicación lineal \( \mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3} \) en su forma \( f(x,y,z)=(...) \) tal que se cumpla que
\( f(Imf)=Kerf \)
\( f(1,1,1)=(2,1,1) \)

Probablemente la idea detrás de este ejercicio sea realmente sencilla pero indudablemente me confunde esa primera condición que se nos exige cumplir. A ver si alguien me puede ayudar, por favor.

Muchísimas gracias de antemano.

Veamos primero la dimensión de núcleo e imagen.

Como \( f(1,1,1)=(2,1,1) \) se tiene que \( dim(Im(f))\geq 1 \). Además como f(Im(f))=ker(F) se tiene que \( ker(f)\subset Im(f) \) y así \( dim(ker(f))\leq dim(Im(f)). \)

Además \( dim(Im(f))+dim(ker(f))=dim(Q^3)=3 \).

Todo esto descarta inmediatamente que \( dim(Im(f))=1 \). Además si \( dim(Im(f))=3 \) entonces \( Im(f)=\mathbb{Q}^3 \) e \( f(Im(F))=Im(f)\neq Ker(f) \). Imposible.

Por tanto necesariamente \( dim(Im(f))=2 \) y \( dim(ker(f))=1 \).

Ahora como \( (2,1,1)\in Im(f) \), se tiene que \( f(2,1,1)\in ker(f). \)

Escogemos \( (0,1,0) \) independiente \( (1,1,1) \) y \( (2,1,1) \) para generar el núcleo y definiendo:

\( f(0,1,0)=(0,0,0) \)
\( f(2,1,1)=(0,1,0) \)
\( f(1,1,1)=(2,1,1) \)

tenemos lo que queríamos.

Saludos.

11 Diciembre, 2017, 04:30 pm
Respuesta #2

ytrusx

  • Junior
  • Mensajes: 27
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Hola

Les pongo otro ejercicio más que me resulta confuso porque aquí ni siquiera dan subespacios de los que extraer bases y la condición principal es bastante abstracta:

3. Hallar una aplicación lineal \( \mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3} \) en su forma \( f(x,y,z)=(...) \) tal que se cumpla que
\( f(Imf)=Kerf \)
\( f(1,1,1)=(2,1,1) \)

Probablemente la idea detrás de este ejercicio sea realmente sencilla pero indudablemente me confunde esa primera condición que se nos exige cumplir. A ver si alguien me puede ayudar, por favor.

Muchísimas gracias de antemano.

Veamos primero la dimensión de núcleo e imagen.

Como \( f(1,1,1)=(2,1,1) \) se tiene que \( dim(Im(f))\geq 1 \). Además como f(Im(f))=ker(F) se tiene que \( ker(f)\subset Im(f) \) y así \( dim(ker(f))\leq dim(Im(f)). \)

Además \( dim(Im(f))+dim(ker(f))=dim(Q^3)=3 \).

Todo esto descarta inmediatamente que \( dim(Im(f))=1 \). Además si \( dim(Im(f))=3 \) entonces \( Im(f)=\mathbb{Q}^3 \) e \( f(Im(F))=Im(f)\neq Ker(f) \). Imposible.

Por tanto necesariamente \( dim(Im(f))=2 \) y \( dim(ker(f))=1 \).

Ahora como \( (2,1,1)\in Im(f) \), se tiene que \( f(2,1,1)\in ker(f). \)

Escogemos \( (0,1,0) \) independiente \( (1,1,1) \) y \( (2,1,1) \) para generar el núcleo y definiendo:

\( f(0,1,0)=(0,0,0) \)
\( f(2,1,1)=(0,1,0) \)
\( f(1,1,1)=(2,1,1) \)

tenemos lo que queríamos.

Saludos.

¡Excelente! Todo muy claro. ¡Mil gracias!