Autor Tema: Demuestre que los cuerpos son isomorfismo

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08 Diciembre, 2017, 12:46
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cristianoceli

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Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que \[ Q(i) \] y \[ Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) \] son isoorfismo

Tenemos que:

\[ Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \}  \]

\[ Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}   \]


\[ Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \]
\[ a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))) \]


Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

De antemano gracias

08 Diciembre, 2017, 13:29
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que \[ Q(i) \] y \[ Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) \] son isoorfismo

Tenemos que:

\[ Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \}  \]

\[ Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}   \]


\[ Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \]
\[ a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))) \]


Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

De antemano gracias

No estoy muy puesto en isomorfismos, pero si "i" es la unidad imaginaria, el cuerpo \[ Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \}  \] es el de los complejos restringido a coeficientes binómicos racionales.

Para la biyectividad basta ver que existe la función inversa para todo \[ a, b\in{\mathbb{Q}}  \],

Es decir si tenemos que:
\[ Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \]
\[ a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)))=(a'+b'i) \]

A mi juicio solo debes despejar a y b, como \[ a=f(a',b') \] y \[ b=f(a',b') \], pero no se si realmente es así de simple.

Por otro lado que sea isomorfismo además de la biyectividad debes probar que es homomorfismo, es decir conserva las operaciones.

\[ f(p+q)=f(p)+f(q) \]  y

\[ f(p\cdot{}q)=f(p)\cdot{}f(q) \]

Pero mejor que revise mi respuesta otro compañero.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

08 Diciembre, 2017, 18:02
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que \[ Q(i) \] y \[ Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) \] son isoorfismo

Tenemos que:

\[ Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \}  \]

\[ Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}   \]


\[ Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \]
\[ a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))) \]

Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

Que esa aplicación es inyectiva y sobreyectiva es evidente. Lo que no resultará así definida es que sea homomorfismo de cuerpos.

Simplemente define:

\[ f:Q(\dfrac{1}{2}(1+i))\to Q(i) \]

\[ f(a+b(\dfrac{1}{2}(1+i))=(a+\dfrac{1}{2}b)+\dfrac{1}{2}bi \]

(que en el fondo es la inclusión natural si tenemos en cuenta que \[ Q(i)=\mathbb{C} \])

y comprueba que cumple todo lo que quieres: biyectiva y homomorfismo de cuerpos.

Saludos.

P.D. Otra forma es notar que por definición \[ Q(\alpha) \] con \[ \alpha\in \mathbb{C} \] es el menor subcuerpo de \[ \mathbb{C} \] que contiene a \[ \alpha \] .Es bastante inmediato ver que en los dos casos del ejercicio tal subcuerpo es todo \[ \mathbb{C} \].