Autor Tema: El problema 1: ¿Es posible definir una función continua en Q y no en R-Q?

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13 Febrero, 2008, 11:28
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León

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¿Alguien tiene una respuesta para la pregunta del primer problema mensual del rincón? Me parece que la discusión en los foros se perdió.

http://www.rinconmatematico.com/corvalan/problemas/problema1.htm

(Si los acentos se ven mal, elegir a mano la codificación de carácteres utf-8.)



Yo no participaba de los foros cuando comenzaron, en el 2002. En esa época se publicaban en ese rincón los "problemas del mes" como desafíos -en general de análisis matemático- que se discutían en los foros.

Cuando vi por primera vez la página del rincón había varios problemas publicados y el primero me costó mucho.

Ayer lo estuve mirando y de nuevo me pareció difícil.

Si no me equivoco, tengo una respuesta no muy muy complicada pero...

... Alvaro escribe que tenía la intención de explicarle la suya a sus alumnos de la primera materia de análisis  y -aunque se sobrentiende que no esperaba que la mayoría de sus alumnos pudieran resolverlo todavía- la mía sería difícil/larga de explicar.

Hay que tener en cuenta que Alvaro tiene fama de ser uno de esos tipos a los que les suele resultar fácil lo que a la mayoría nos desconcierta.

Como aparentemente la discusión sobre el tema se perdió en algún accidente con el archivo de los foros (o quizás los foros no existían todavía cuando se publicó ese problema), me gustaría proponerlo de nuevo como desafío.

13 Febrero, 2008, 13:36
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Tengo clase en breve así que sólo un pequeñísimo esbozo de como puede ir la cosa:

Spoiler
1) Comprobar que los puntos de continuidad de función real son intersección numerable de abiertos.

 2) Pero Q no puede ponerse como intersección numerable de abiertos.

 Conclusión: no existe la función.

 Si puedo lo escribiré mejor.
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Saludos.

13 Febrero, 2008, 13:52
Respuesta #2

León

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Ah, que bueno.

Lo mío era,

Spoiler
1) Usando
\[ \displaystyle\delta_f(x)=\inf_{\epsilon>0}\sup\{|f(x)-f(y)|:|x-y|<\epsilon\} \] probar que para una f como la del enunciado existe k>0 tal que es no numerable \[ C_k=\{t:\delta_f(t)\geq k\} \].

2) Ver que hay un intevalo (a,b) dónde Ck es denso.

3) Mostrar que f no es contínua en ningún racional de [a,b].
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Pero tu plan me parece mas corto y lindo, ¡gracias!

13 Febrero, 2008, 16:58
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Un poco más detallado:

Spoiler
Resultado I: Sean \[ X \] e \[ Y \] espacios topológicos, con \[ Y \] primero numerable. Entonces el conjunto de puntos donde una función \[ f:X\longrightarrow Y \] es continua es intersección numerable de abiertos.

Prueba: Por ser \[ Y \] primero numerable, para cada \[ y\in Y \] tenemos una base local de entornos abiertos de \[ y \], \[ \{V_y^n\} \].

Definimos:
\[ X_n=\{x\in X|\,\exists U_x \] abierto en \[ X,\,x\in U_x\subset f^{-1}(V_{f(x)}^n)\} \]

- Es fácil ver que \[ X_n \] es abierto (porque para \[ x\in X_n \], tenemos \[ x\in U_x\subset X_n \]).

- Llamamos \[ C=\cap X_n \]. Se tiene que \[ f \] es continua en \[ x \] si y sólo si \[ x\in C \] (porque \[ f \] es continua en \[ x \] si para cada entorno abierto básico \[ V_{f(x)}^n \] existe un abierto \[ U \] en \[ X \] con \[ x\in U\subset V_{f(x)}^n) \]

Nota. Podemos adaptar la prueba a nuestro caso particular tomando:

\[ X_n=\{x\in R|\,\exists (a,b) \] abierto en \[ R\,x\in (a,b)\subset f^{-1}(f(x)-1/n,f(x)+1/n)\} \]

Aplicación del resultado I:

- Como \[ R \] es un espacio de Baire la unión numerable de cerrados con interior vacío tiene interior vacío.
- \[ R-Q \] no puede ser unión numerable de cerrados con interior vacío. Si lo fuese añadiendo los puntos de \[ Q \] todo \[ R \] sería unión numerable de cerrados con interior vacío y \[ R \] por tanto tendría interior vacío: falso.
- \[ R-Q \] no puede ser unión numerable de cerrados. Basta usar lo anterior y tener en cuenta que todo cerrado contenido en \[ R-Q \] tiene interior vacío. En otro caso contendría elementos racionales, por ser \[ Q \] denso en \[ R \].
- \[ Q \] no puede ser intersección numerable de abiertos, ya que tomando complementarios tendríamos \[ R-Q \] como unión numerable de cerrados.
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Saludos.

13 Febrero, 2008, 17:56
Respuesta #4

León

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Guau. Unos comentarios.

Spoiler
Gracias por refrescarme un poco la topología! : )

Donde dices:
Definimos:
\[ X_n=\{x\in X|\,\exists U_x \] abierto en \[ X,\,x\in U_x\subset f^{-1}(V_{f(x)}^n)\} \]

- Es fácil ver que \[ X_n \] es abierto (porque para \[ x\in X_n \], tenemos \[ x\in U_x\subset X_n \]).

No me queda claro que Xn tenga que ser abierto porque no es seguro (me parece) que \[ U_x\subset X_n \].

¿Tan poco como Y primero numerable alcanza? Tengo que pensarlo mejor pero te creo.

Lindísimo, igual.

Cuando tenga tiempo (hoy a la noche o mañana) escribo la mía.

Me acaban de desafiar a una tarde jugando al ping-pong : )
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Saludos.

13 Febrero, 2008, 19:24
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Uy...

Spoiler
Tienes razón en tu crítica. Si muevo el punto varía el sistema de entornos de su imagen y la cosa se complica.

 De momento (creo) lo arreglo así, pero ya no para Y primero numerable sino para R.

\[  X_n=\{x\in R|\,\exist \] U abierto en \[ X \], con \[ x\in U \] y \[ |f(a)-f(b)|<1/n \] para todo \[ a,b\in U\} \]

 Tengo prisa y no puedo revisarlo ahora. Espero no meter la pata de nuevo.
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Saludos.

14 Febrero, 2008, 01:19
Respuesta #6

León

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Mi intento. Al final, cuando tuve que precisar los argumentos, encuentro que no es muy diferente a tu manera de hacerlo.

Spoiler
Yo también tengo que recurrir al teorema de Baire -y abstrayendo un poco me parece que la idea es la misma aunque la construcción sea diferente.

Supongamos que hay una función f como la pedida.

Definamos, como decía antes,  \[ \displaystyle\delta_f(x)=\inf_{\epsilon>0}\sup\{|f(x)-f(y)|:|x-y|<\epsilon\}\in\mathbb R\cup\{\infty\} \]

y \[ C_k=\{t:\delta_f(t)\geq k\} \]

Sea Dk la clausura de Ck.

Si hay un racional q en Dk, f no puede ser continua q (1).
Veámoslo. Para todo abierto U que contiene a q existe un x en U que está en C_k y por lo tanto existe un y también en U tal que \[ |f(x)-f(y)|\geq k \]. De ahí que, o \[ |f(x)-f(q)|\geq \frac k2 \] o \[ |f(q)-f(y)|\geq \frac k2 \]. En definitiva, f no es contínua en q.

La única posibilidad que queda es \[ D_k\subset \mathbb R-\mathbb Q \] y por lo tanto \[ \cup D_k=\mathbb R-\mathbb Q \].

En definitiva tenemos que los Dk son cerrados con interior vacío y todos unidos dan los irracionales.

Por lo tanto \[ \displaystyle\bigcup_{n\in \mathbb N} D_{\frac1n}\cup\bigcup_{q\in\mathbb Q}\{q\}=\mathbb R \] y el Baire asegura que entonces alguno de esos conjuntos tiene interior no vacío -y, por supuesto, tiene que ser alguno de los Dk.

Pero entonces existe un intervalo \[ (a,b)\subset D_k \] y hay racionales en Dk lo que, por (1), implica que f no es continua en esos racionales.
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