Autor Tema: Polígono convexo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

03 Diciembre, 2017, 04:34 pm
Leído 1291 veces

Muaddib

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 12
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Demostrar que un polígono convexo no puede tener tres lados (consecutivos o no) que sean todos ellos mayores que la diagonal más larga.

(Fuente: Mathematical Circles, Russian Experience. Fomin, Genkin, ltenberg.)

03 Diciembre, 2017, 07:49 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,270
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra
Hola Muaddib,

Si el polígono tiene tres lados mayores que la mayor de las diagonales, dos de ellos no tendrán puntos en común. Sean los lados \( \overline{AB}\textrm{ y }\overline{CD} \). Las letras no indican orden ninguno, entre ellos puede haber al menos un lados por cada extremo, pero pueden ser muchos.

Si el polígono es convexo, \( ABCD \) es un cuadrilátero convexo (intercambiamos los nombres de los vértices \( C\textrm{ y }D \) si es necesario para que no sea cruzado). Enonces las diagonales \( \overline{AC}\textrm{ y }\overline{BD} \) se cortarán en un punto O interior al cuadrilátero.

Por hipótesis, tenemos que \( \overline{AC} + \overline{BD}< \overline{AB} + \overline{CD} \), puesto que \( \overline{AC}\textrm{ y }\overline{BD} \) son diagonales.

Pero por la desigualdad triangular, tenemos que

\( \overline{AO} + \overline{BO }> \overline{AB} \)
\( \overline{CO} + \overline{DO }> \overline{CD} \)

Sumando ambas desigualdades,

\( \overline{AC} + \overline{BD} > \overline{AB} + \overline{CD} \)

puesto que \( A, O\textrm{ y }C \) están alineados, así como \( B, O\textrm{ y }D \).

Llegamos así a una contradicción, por lo que no puede haber tras lados mayores que todas las diagonales.

Pero si son dos lados, si que podría ser. Si no fueran consecutivos, podríamos aplicar lo anterior, pero si son consecutivos no. Fíjate en la cometa de la figura, por ejemplo.



Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

05 Diciembre, 2017, 03:01 am
Respuesta #2

Muaddib

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 12
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino