[Quema]

Hola

Esta pregunta ya la hice antes, pero no encontré el hilo. Va de nuevo. Supongamos que el minero \( i \) tiene una cantidad de diamantes \( a_i \) con \( i=1,2,...,n \) guardados en la bodega de un barco. Un huracán hace caer todos los diamantes (iguales). Para evitar una revuelta el capitán del barco recolecta todos los diamantes que suman \( A \) y tiene el dilema de cómo distribuirlos de forma justa. Suponemos que cada individuo conoce su cantidad y que no sabe la cantidad de los otros y quieren obtener la mayor cantidad posible.

Sea \( c_i \) la cantidad que reclama el individuo \( i \) entonces el capitán resuelve devolver la cantidad \( r_i \) de acuerdo a

\( r_i=c_i-(1+a)max\left\{{t_i,0}\right\} \), con \( a>0 \)

siendo \( t_i=c_i-(A-\displaystyle\sum_{i\neq{}j}{c_j}) \). Por razones que se muestran en el artículo el individuo \( i \) supondrá que \( \displaystyle\sum_{i\neq{}j}{(a_j-c_j)}=0 \), entonces

\( r_i=c_i-(1+a)max\left\{{c_i-a_i,0}\right\} \) y esto se maximiza para \( c_i=a_i \) y el individuo recibe su cantidad inicial.

Ahora, supongamos que se pierden algunos de los diamantes y obviamente no se sabe a quienes pertenecían, en qué cambia el análisis anterior.  Creo que el objetivo del capitán es lograr minimizar \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\left |{r_i-a_i}\right |} \) o \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(r_i-a_i)^2} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Esta pregunta ya la hice antes, pero no encontré el hilo. Va de nuevo. Supongamos que el minero \( i \) tiene una cantidad de diamantes \( a_i \) con \( i=1,2,...,n \) guardados en la bodega de un barco. Un huracán hace caer todos los diamantes (iguales). Para evitar una revuelta el capitán del barco recolecta todos los diamantes que suman \( A \) y tiene el dilema de cómo distribuirlos de forma justa. Suponemos que cada individuo conoce su cantidad y que no sabe la cantidad de los otros y quieren obtener la mayor cantidad posible.

Sea \( c_i \) la cantidad que reclama el individuo \( i \) entonces el capitán resuelve devolver la cantidad \( r_i \) de acuerdo a

\( r_i=c_i-(1+a)max\left\{{t_i,0}\right\} \), con \( a>0 \)

siendo \( t_i=c_i-(A-\displaystyle\sum_{i\neq{}j}{c_j}) \). Por razones que se muestran en el artículo el individuo \( i \) supondrá que \( \displaystyle\sum_{i\neq{}j}{(a_j-c_j)}=0 \), entonces

\( r_i=c_i-(1+a)max\left\{{c_i-a_i,0}\right\} \) y esto se maximiza para \( c_i=a_i \) y el individuo recibe su cantidad inicial.

Ahora, supongamos que se pierden algunos de los diamantes y obviamente no se sabe a quienes pertenecían, en qué cambia el análisis anterior.  Creo que el objetivo del capitán es lograr minimizar \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\left |{r_i-a_i}\right |} \) o \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(r_i-a_i)^2} \)

Preguntaste aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=66135.0

Por la tarde amplio mi respuesta...

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 En realidad el criterio que se propone es equivalente a sumar todas las peticiones de los piratas: \( B=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}c_i \) (es de suponer que dará mayor o igual que \( A \)) y restar a todos los piratas de su petición el exceso \( B-A \) aumentado un tanto.

\( r_i=c_i+(1+a)(B-A) \)

 Es decir a todos los piratas se les descuenta lo mismo si hay exceso en el total del dinero reclamado.

 Así se garantiza que a nadie le conviene pedir de más: nunca va a poder en ese caso llevarse más de lo que le correpondía.

 En el supuesto que propones sin ninguna información sobre el dinero que ser perdió no veo forma de proceder. No hay ninguna referencia para saber si los piratas están pidiendo de más.

Saludos.

[Quema]

Es decir, ahora como faltan diamantes, el capitán no puede saber si le están diciendo o no la verdad. El caso más sencillo es que sepa cuántos diamantes se perdieron digamos una cantidad \( X \). Creo que si el capitán no dicen nada que se perdió esa cantidad, los piratas dirán la verdad, pues en la fórmula la cantidad \( A \) es irrelevante, la toman como una constante. Y luego prorrateará la pérdida según la cantidad reclamada por cada uno.

El tema más complicado es si los piratas saben que se perdió una cantidad \( X \), ahí por las dudas reclamarán más. Si el capitán usara la fórmula anterior, y los piratas supieran que se perdieron \( X \) diamantes (al inicio había \( A+X \)), supongamos que el individuo \( i \) piensa que los demás no mienten, a pesar de saber que no van a recibir todo su reclamo, entonces \( \displaystyle\sum_{i\neq{}j}{(a_j-c_j)}=0 \) entonces quedaría

\( r_i=c_i-(1+a)max\left\{{c_i-a_i-X,0}\right\} \) y el individuo \( i \) le conviene pedir \( c_i=a_i+X \), no? Pero previendo esto, el capitán debería cambiar la fórmula por

\( r_i=c_i-X-(1+a)max\left\{{c_i-A-X,0}\right\} \), no? Mmmm, no pues podrían recibir una cantidad negativa.

Y de esa forma, a pesar que todos saben que se perdió la cantidad \( X \) dirán la verdad (\( c_i=a_i \)) y cobrarán a prorráta, \( \displaystyle\frac{a_iA}{A+X} \). Está bien?

Creo que aún sabiendo la cantidad que se perdió los piratas dirán la verdad.

[Luis Fuentes]

Hola

 Antes un comentario:

Por razones que se muestran en el artículo el individuo \( i \) supondrá que \( \displaystyle\sum_{i\neq{}j}{(a_j-c_j)}=0 \), entonces

No acabo de entender esa suposición: es simplemente equivalente a suponer que todos reclaman exactamente el dinero que tenían. En todo caso esa es la conclusión final, que a los piratas les conviene decir la verdad. Pero no hace falta usar ese supuesto en ningún momento para llegar a la conclusión.

Como he dicho lo que recibirá cada pirata equivale a:

\( r_i=c_i-(1+a)(B-A) \)

Eso significa que cualquier EXCESO de petición frente a la realidad de cualquier pirata hará que reciban menos dinero.  En particular cualquier exceso que hagas tu mismo hará que cobres menos dinero que si no lo hicieses. Por eso lo más conveniente es decir la verdad.

Es curioso porque el método es efectivo en cuanto que los piratas lo entiendan.

Por otra parte si algún pirata miente, no se reparte todo el dinero y el capitán se queda con él; no sé si en un caso práctico esto evitaría una revuelta...

Es decir, ahora como faltan diamantes, el capitán no puede saber si le están diciendo o no la verdad. El caso más sencillo es que sepa cuántos diamantes se perdieron digamos una cantidad \( X \). Creo que si el capitán no dicen nada que se perdió esa cantidad, los piratas dirán la verdad, pues en la fórmula la cantidad \( A \) es irrelevante, la toman como una constante. Y luego prorrateará la pérdida según la cantidad reclamada por cada uno.

El tema más complicado es si los piratas saben que se perdió una cantidad \( X \), ahí por las dudas reclamarán más. Si el capitán usara la fórmula anterior, y los piratas supieran que se perdieron \( X \) diamantes (al inicio había \( A+X \)), supongamos que el individuo \( i \) piensa que los demás no mienten, a pesar de saber que no van a recibir todo su reclamo, entonces \( \displaystyle\sum_{i\neq{}j}{(a_j-c_j)}=0 \) entonces quedaría

\( r_i=c_i-(1+a)max\left\{{c_i-a_i-X,0}\right\} \) y el individuo \( i \) le conviene pedir \( c_i=a_i+X \), no?

Pero eso no corresponde con el criterio del artículo para \( X=0 \). No entiendo bien lo que pretendes. Además no conocemos \( a_i \).

Pero previendo esto, el capitán debería cambiar la fórmula por

\( r_i=c_i-X-(1+a)max\left\{{c_i-A-X,0}\right\} \), no? Mmmm, no pues podrían recibir una cantidad negativa.

Y de esa forma, a pesar que todos saben que se perdió la cantidad \( X \) dirán la verdad (\( c_i=a_i \)) y cobrarán a prorráta, \( \displaystyle\frac{a_iA}{A+X} \). Está bien?

Tampoco entiendo la fórmula. Si por ejemplo \( 5 \) piratas tenían \( 1000 \) monedas cada uno y se pierden \( 1000 \), si solicitan las mil monedas que tenían no recibirían ninguna.

En principio si se conoce el dinero \( X \) que se perdió el criterio debería de ser el mismo pero "escalado" al dinero que hay. Es decir si \( A \) es el dinero que había y \( A-X \) se invita a cada pirata a decir la cantidad \( c_i \) que tenía de verdad (sin tener en cuenta que se perdieron \( X \) monedas). Se les dice que cobrarán:

\( r_i=\dfrac{A-X}{A}(c_i-(1+a)(B-A)) \)

Por exactamente el mismo motivo que en el caso inicial lo que mas les conviene es decir la verdad.

Saludos.