Pero de momento no acierto a ver como mostrar ninguna de ellas ...
En realidad es bastante sencillo. El cuadrilátero \( BCDM \) es un paralelogramo pues sus lados opuestos son paralelos, por lo que \( \overline{MD} = \overline{BC} = b \). Por otra parte, \( \triangle BCF\sim{}\triangle ADF \), por que sus ángulos en \( A\textrm{ y }C,\textrm{ y en }B\textrm{ y }D \), son alternos-internos. llamando \( a = \overline{AM} \), tenemos entonces que:
\( \displaystyle\frac{18+x}{12}=\displaystyle\frac{a+b}{b}=\displaystyle\frac{a}{b}+1 \)
Por el Teorema de Tales,
\( \displaystyle\frac{18}{x+12}=\displaystyle\frac{a}{b} \)
Sustituyendo \( \displaystyle\frac{a}{b} \)
\( \displaystyle\frac{18+x}{12}= \displaystyle\frac{18}{x+12}+1 \)
\( (18+x)(x+12) = 18\cdot{}12 + 12(x+12) \)
\( x^2 + 30x = 12x + 144 \)
\( x^2 + 18x - 144 = 0 \;\Rightarrow{}\;x = \displaystyle\frac{-18\pm{\sqrt[ ]{18^2-4\cdot{}(-144)}}}{2}\;\Rightarrow{}\;x =\left\{ \begin{matrix}{-24}\\{6}\end{matrix}\right. \)
donde solo nos interesa la solución \( x = 6 \). Se deduce además que \( a = b \).
Basado en la solución de José Luis da Vila en twitter (@jldavilaa01).
En general, si \( \overline{AE}=\displaystyle\frac{3}{2}\overline{FC} \), se tiene que \( a = b\textrm{ y }\overline{EF}=\displaystyle\frac{1}{2}\overline{FC} \).
Saludos,
