[Michel]

Sea un trapecio isósceles.
Demostrar que si la altura y la paralela media son iguales, las diagonales son perpendiculares.
¿Es cierto el teorema recíproco'

[Ignacio Larrosa]

Sea un traoecio isósceles.
Demostrar que si la altura y la paralela media son iguales, las diagonales son perpendiculares.
¿Es cierto el teorema recíproco'

La clave del asunto está en que:

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En un trapecio isósceles, las proyecciones de las diagonales sobre las bases son iguales a la paralela media. A partir de aquí se demuestra fácilmente la doble implicación pedida.

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Saludos,

[robinlambada]

Hola. Otra manera similar.

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Si construimos un cuadrado centrado en el trapecio de lado su altura, entre sus bases B y b ( cuadrado rojo discontinuo).

Si ahora hacemos una traslación de las diagonales en dirección paralela a las bases y sentidos opuestos  y de módulo \( \displaystyle\frac{B-b}{4} \)

Es fácil ver que coinciden con las diagonales del cuadrado, por ser el trapecio isóseles y la semisuma de las bases igual a la altura, es decir los triángulos ABC y  A'B'C' son iguales.

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Saludos.

[Ignacio Larrosa]

La idea es básicamente la misma

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En efecto, se tiene que la paralela media es m = \displaystyle\frac{a + c}{2}.

Las proyecciónes de las diagonales sobre la altura coinciden con la propia altura. Proyectando una diagonal sobre la base, se tiene que

\( Proyec_a(d) = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} c = m \)

Las proyecciones de las diagonales sobre la base y la altura, que son perpendiculares, son iguales, por lo que las diagonales forman ángulos de \( 45^\circ{} \) con las bases y son perpendiculares entres si.

Y al contrario, si son perpendiculares entre si, forman ángulos de \( 45^\circ{} \) con las bases y sus proyecciones sobre bases y altura son iguales, por lo que la paralela media resulta igual a la altura.

Pueden desplazarse los vértices \( A\textrm{ y }B \) y el punto medio del lado \( \overline{CD} \)

En definitiva, los trapeciso isósceles son equimedianos si y solo si son ortodiagonales.

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Saludos,