Hola
Buenas.
Si dibujo un grafo con N nodos y E ejes (que unen pares de nodos aleatoriamente escogidos, entre dos nodos sólo puede haber o 0 o 1 ejes)...
No entiendo el supuesto. Un grafo está formado por nodos y aristas, no ejes. Realmente no sé si quieres hablar de grafos. No se que trascendencia tienes que uses la palabra "ejes" en lugar de "aristas" (incluso sería más lógico, rectas, pero ¿ejes?).
¿Cuál es el máximo número posible de intersecciones entre ejes? ¿O la media esperada del número de intersecciones?
También es bastante diferente una pregunta de la otra. En las segunda interviene de forma decisivia que tipo de distribución aleatoria estás plantando.
Dicho todo esto: es imprescindible que intentes explicar mejor el problema que planteas.Tiro dos posibles interpretaciones:
- Si te refieres al máximo número de aristas de un grafo simple de \( n \) vértices, dado que como dices cada par de vértices es unido a lo sumo por una arista, el máximo es el número total de parejas de vértices \( \color{red}\dfrac{n(n-1)}{2}\color{black} \).
- Si te refieres a la media de aristas de un grafo aleatorio de \( n \) vértices, de manera que de manera equiprobable cada arista puede o no estar, pues sería la misma que la media del número de caras en \( \color{red}\dfrac{n(n-1)}{2}\color{black} \) tiradas de una moneda, es decir, \( \color{red}\dfrac{n(n-1)}{4}\color{black} \).
Lo podríamos preguntar como puntos, rectas e interseccciones.
De está útlima frase podría deducirse que quizá te refieras al máximo número de intersecciones entre \( n \) rectas en el plano: de nuevo sería el caso en el que cualesquiera dos rectas se cortan \( \color{red}\dfrac{n(n-1)}{2}\color{black} \) puntos.
En este caso en el enfoque probabilístico, escogiendo n rectas "al azar", la media de puntos de corte coincidiría con el máximo número, ya que la probabilidad de que ningún par de recta sea paralelo o más de dos rectas pasen por un punto es \( 1 \).
Saludos.
CORREGIDO
