Hola raistlin.
No estoy seguro de la bibliografía o el modo en que estás viendo el curso que estás siguiendo, así que trataré de explicarte brevemente qué significa la expresión \( \nabla g\equiv 0 \) y si tienes dudas, pregunta.
\( \bullet \) Dado un fibrado vectorial \( \pi: E\to M, \) si denotamos por \( \cal{E}(M) \) a su conjunto de secciones, una conexión en \( E \) es una aplicación \( \nabla :{\cal T}(M)\times{\cal E}(M)\to{\cal E}(M), \) donde \( {\cal T}(M) \) son las secciones del
fibrado tangente de \( M \) (o equivalentemente \( {\cal T}(M) \) son los campos vectoriales sobre \( M \)), que cumple ciertas propiedades.
\( \bullet \) La conexión de Levi-Civita, que también denotaremos por \( \nabla, \) es una conexión en el fibrado tangente, es decir, cuando \( {\cal E}(M)={\cal T}(M). \) Entonces, para esta conexión, en principio únicamente tienen sentido expresiones del tipo \( \nabla_{X}Y, \) con \( X,Y\in {\cal T}(M). \)
\( \bullet \) Sin embargo, dada una conexión \( \nabla \) en el fibrado tangente de \( M, \) ésta puede extenderse a todos los fibrados tensoriales \( T^{k}_{l}M \) de forma única (no importa si no tienes claro lo que significa \( T^{k}_{l}M, \) lo veremos para el caso que nos interesa de \( k=2 \) y \( l=0, \) más abajo). De esta forma adquieren sentido expresiones del tipo \( \nabla_{X}F \) para cualquier \( F \) sección de \( T^{k}_{l}M. \)
\( \bullet \) En nuestro caso \( g \) es una sección del fibrado \( T^{2}M:=\bigsqcup_{p\in M}T^{2}(T_{p}M) \) donde para cada punto \( p\in M \) el espacio \( T^{2}(T_{p}M) \) representa al conjunto de mapas bilineales \( f:T_{p}M\times T_{p}M\to\mathbb{R}. \) Luego, por el resultado que menciono en el anterior párrafo, podemos extender \( \nabla \) a \( T^{2}M \) y de esta forma ya tiene sentido escribir \( \nabla_{X}g. \) La extensión se (puede probar que se) hace por medio de la igualdad
\( (\nabla_{X}g)(Y,Z)=Xg(Y,Z)-g(\nabla_{X}Y,Z)-g(Y,\nabla_{X}Z), \) para todo \( Y,Z\in{\cal T}(M). \)
\( \bullet \) Entonces, la expresión \( \nabla g\equiv 0 \) significa que \( \nabla_{X}g=0 \) para todo \( X\in{\cal T}(M). \) Esto ultimo a su vez significa que \( (\nabla_{X}g)(Y,Z)=0, \) para todo \( X,Y,Z\in{\cal T}(M). \) Por el párrafo anterior, esto es equivalente a que \( Xg(Y,Z)-g(\nabla_{X}Y,Z)-g(Y,\nabla_{X}Z)=0 \) para todo \( X,Y,Z\in{\cal T}(M), \) que es justamente la condición de compatibilidad entre \( g \) y \( \nabla. \)
En resumen, la expresión \( \nabla g\equiv 0 \) no es más que otra forma (más compacta) de escribir la condición de compatibilidad de \( g \) con \( \nabla. \) El problema es que para entenderla se necesita conocer lo que he mencionado brevemente más arriba, que no es estrictamente necesario para estudiar la conexión de Levi-Civita.
Saludos,
Enrique.
