[Michel]

Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero ABCD son perpendiculres.
1. Demostrar que \( AB^2+CD^2=BC^2+AD^2 \).
2. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de loa lados opuestos son iguales.

[delmar]

Hola Michel

Aquí una solución

Spoiler

Adjunto un dibujo.


Las diagonales son \( AC \) y \( BD \), su intersección es el punto \( O \). Los triángulos \( \Delta AOB \) y \( \Delta DOC \) son rectángulos. Aplicando pitágoras, respectivamente, se tiene :
\( AB^2=AO^2+BO^2 \)

\( CD^2=CO^2+DO^2 \)

Sumando : \( AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2=(AO^2+DO^2)+(BO^2+CO^2) \)

Por ser los triángulos \( \Delta AOD \) y \( \Delta BOC \) también rectángulos se tiene por pitágoras respectivamente : \( AB^2+CD^2=AD^2+BC^2 \)

LQQD

Para la segunda parte. \( M_1,M_2,M_3,M_4 \) son los puntos medios de los lados del cuadrilátero. Uniendo \( M_1 \) con  \( M_3 \) y \( M_2 \) con \( M_4 \) se

generan triángulos semejantes: \( \Delta M_1DM_3 \ \sim{\Delta ADC} \) y \( \Delta M_2BM_4 \ \sim{\Delta CBA} \), en consecuencia se tiene : \( \displaystyle\frac{M_1M_3}{AC}=\displaystyle\frac{M_2M_4}{AC}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{M_1M_3=M_2M_4} \) y obviamente estos dos segmentos son paralelos a \( AC \)

De una manera semejante uniendo \( M_1 \) con  \( M_4 \) y \( M_3 \) con \( M_2 \) se generan triángulos semejantes: \( \Delta M_1AM_4 \ \sim{\Delta DAB} \) y

\( \Delta M_2CM_3 \ \sim{\Delta BCD} \), en consecuencia se tiene : \( \displaystyle\frac{M_1M_4}{DB}=\displaystyle\frac{M_3M_2}{DB}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{M_1M_4=M_2M_3} \) y obviamente estos dos segmentos

son paralelos a \( DB \). Por lo tanto el cuadrilátero \( M_1M_3M_2M_4 \) es un rectángulo y una de sus propiedades es que sus diagonales son iguales :

\( M_1M_2=M_3M_4 \)

LQQD

[cerrar]

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Y el área es el semiproducto de las diagonales, lo que es característico de que sea ortodiagonal, sin necesidad de que sea un rombo.

Área del rombo (y de los cuadriláteros ortodiagonales)

Saludos,