[danymanya]

Estimados, tengo un problema que resolver pero no se me ocurre como, el planteo es el siguiente:
(ABCD) es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, M, N, P y Q puntos medios de los arcos AB, BC, CD, DA respectivamente. Demostrar que \(  MP \perp{NQ}  \)
Adjunto además un dibujo del problema hecho en Geogebra.
Cualquier ayuda que me puedan dar para pensarlo, bienvenida sea. Gracias.

[delmar]

Hola

Observa que la intersección de las rectas \( NQ \ \ y \ \ PM \) es un punto interior a la circunferencia y en ese caso el ángulo \( \alpha \) será la semisuma

de su arco y el de su opuesto : \( \alpha=\displaystyle\frac{arc(PN)+arc(QM)}{2} \)

Pero : \( arc(PN)=arc(PC)+arc(CN) \) y \( arc(QM)=arc(QA)+arc(AM) \)

Poniendo estos arcos en función de los arcos relacionados con los lados del cuadrilátero se tiene :

\( arc(PC)=\displaystyle\frac{arc(CD)}{2} \)

\( arc(CN)=\displaystyle\frac{arc(BC)}{2} \)

En consecu8encia : \( arc(PN)=\displaystyle\frac{arc(CD)+arc(BC)}{2} \)

\( arc(QA)=\displaystyle\frac{arc(AD)}{2} \)

\( arc(AM)=\displaystyle\frac{arc(AB)}{2} \)

En consecuencia : \( arc(QM)=\displaystyle\frac{arc(AD)+arc(AB)}{2} \)

\( \alpha=\displaystyle\frac{arc(CD)+arc(BC)+arc(AD)+arc(AB)}{4}=\displaystyle\frac{2 \pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

Este paso se da por el hecho que la suma de los arcos correspondientes a los lados del cuadrilátero inscrito es la circunferencia entera es decir \( 2 \pi \)

Saludos

Nota : Conveniente es que muestres los avances respecto, a los problemas que enuncias.

[Ignacio Larrosa]

Hola

Observa que la intersección de las rectas \( NQ \ \ y \ \ PM \) es un punto interior a la circunferencia y en ese caso el ángulo \( \alpha \) será la semisuma

de su arco y el de su opuesto : \( \alpha=\displaystyle\frac{arc(PN)+arc(QM)}{2} \)

Pero : \( arc(PN)=arc(PC)+arc(CN) \) y \( arc(QM)=arc(QA)+arc(AM) \)

Pero los puntos \( M, N, P\textrm{ y }Q \) son los puntos medios de los arcos determinados por los lados, por lo que:

 \( \alpha=\displaystyle\frac{\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{PN}}+\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{QM}}}{2}=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

Saludos,

[danymanya]

Me quedó muy clara la respuesta de delmar, pero no entendí la acotación de ilarrosa. Agradezco si me pueden esclarecer un poco más el porqué de la acotación de ilarrosa.
Muchas gracias.

[Ignacio Larrosa]

Me quedó muy clara la respuesta de delmar, pero no entendí la acotación de ilarrosa. Agradezco si me pueden esclarecer un poco más el porqué de la acotación de ilarrosa.

Los arcos \( \stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{PN}}\textrm{ y }\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{QM}} \) abarcan las cuatro mitades de cada uno de los arcos determinados por los lados del cuadrilátero inscrito, por lo que conjuntamente abarcan un arco de \( \pi \), la mitad de la circunferencia completa.

Como el ángulo interior \( \alpha \) es la media de los arcos que abarcan sus lados, se concluye que \( \alpha = \dfrac{\pi}{2} \).

Saludos,

[danymanya]

Excelente!! 
Ahora si me quedó clarísimo, doy por finalizado el tema entonces. Muchas gracias a todos!!.