Hola
Necesito ayuda por favor, gracias
sea \( f:A\longrightarrow B \) demuestre que:
f es inyectiva si y solo si para cualesquiera \( X,Y\subset A \) , \( f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y) \)
Fíjate que sea o no inyectiva siempre se cumple que \( f(X\cap Y)\subset f(X)\cap f(Y). \)
Ahora supón gue \( f \)es inyectiva. Dado \( b\in f(X)\cap f(Y) \), existe \( x\in X \) (porque \( b\in f(X) \)) e \( y\in Y \) (porque \( b\in f(Y) \))tales que \( b=f(x)=f(y). \) Por ser inyectiva \( x=y \); por tanto \( x=y\in X\cap Y \). Termina...
Recíprocamente. Supongamos que \( f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y). \) Para ver que es inyectiva necesitamos probar que si \( a\neq a' \), con \( a,a'\in A \) entonces \( f(a)\neq f(a') \).
Toma \( X=\{a\} \), \( Y=\{a'\} \) y aplica la hipótesis.
Saludos.
