[mathlife]

Hola, ¿alguien podría ayudar a hacer el siguiente problema?

Para realizar una compra de un determinado material eléctrico del que
se sabe que es defectuoso con probabilidad 0.25, se le somete a una
determinada prueba que da los resultados A,B y C, con probabilidades
0.8, 0.15 y 0.05, si el material es válido, y probabilidades 0.2, 0.3 y 0.5,
si el material es defectuoso. Si cada lote se somete a seis pruebas de
forma independiente, y se acepta para su compra si no aparece nunca el
resultado C ni más de dos veces el resultado B, calcular la probabilidad
de que un lote elegido al azar sea aceptado para su compra.

Lo que yo he hecho es lo siguiente:
\( X_A \)=Nº de veces que aparece A en 6 pruebas
\( X_B \)=Nº de veces que aparece B en 6 pruebas \( P_B=0.15·0,75+0.25·0.5=0.1625 \)

\( X_B, X_C \) se distribuye según una multinomial de parámetros 6,0.1875,0.1625;
por tanto P(Aceptar un lote)=\( P(X_B\leq{2},X_C=0)=\displaystyle\sum_{i=0}^2{\displaystyle\frac{6!·0,1875^i·(1-0.1875-0.1625)^{6-i}}{i!(6-i)!}}=0.30008574 \)

Sin embargo, en las soluciones pone que tiene que salir 0.52.

Gracias de antemano.







Gracias de antemano.

[robinlambada]

Spoiler

Hola, ¿alguien podría ayudar a hacer el siguiente problema?

Para realizar una compra de un determinado material eléctrico del que
se sabe que es defectuoso con probabilidad 0.25, se le somete a una
determinada prueba que da los resultados A,B y C, con probabilidades
0.8, 0.15 y 0.05, si el material es válido, y probabilidades 0.2, 0.3 y 0.5,
si el material es defectuoso. Si cada lote se somete a seis pruebas de
forma independiente, y se acepta para su compra si no aparece nunca el
resultado C ni más de dos veces el resultado B, calcular la probabilidad
de que un lote elegido al azar sea aceptado para su compra.

Lo que yo he hecho es lo siguiente:
\( X_A \)=Nº de veces que aparece A en 6 pruebas
\( X_B \)=Nº de veces que aparece B en 6 pruebas \( P_B=0.15·0,75+0.3·0.25=0.1875 \)
\( X_C \)=Nº de veces que aparece C en 6 pruebas \( P_C=0.05·0,75+0.3·0.5=0.1625 \)

\( X_B, X_C \) se distribuye según una multinomial de parámetros 6,0.1875,0.1625;
por tanto P(Aceptar un lote)=\( P(X_B\leq{2},X_C=0)=\displaystyle\sum_{i=0}^2{\displaystyle\frac{6!·0,1875^i·(1-0.1875-0.1625)^(6-i)}{i!(6-i)!}}=0.30008574 \)

Sin embargo, en las soluciones pone que tiene que salir 0.52.

Gracias de antemano.







Gracias de antemano.

[cerrar]

Hola mathlife, a pesar de no haber visto nunca la distribución multinomial y debido a tu petición de ayuda por privado me atrevo a responderte.
Editado:

\( X_A \)=Nº de veces que aparece A en 6 pruebas
\( X_B \)=Nº de veces que aparece B en 6 pruebas \( P_B=0.15·0,75+0.3·0.25=0.1875 \)
\( X_C \)=Nº de veces que aparece C en 6 pruebas \( P_C=0.05·0,75+\color{red}0.3\color{black}·0.5=0.1625 \)

Esto es casi correcto (lo que te marqué en rojo está mal, sería 0.25), pero creo que has aplicado mal la expresión para la probabilidad multinomial.( se te ha olvidado entre otras cosas incluir el suceso que se de el resultado A)

Según he leido aqui.
https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_multinomial



Si:\( P(X_{1}=x_{1}{\mbox{ y }}\dots {\mbox{ y }}X_{k}=x_{k})=\begin{cases} \dfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}} & \text{si}& \sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\0 & \text{  En otros casos}& \end{cases} \)

Sea el vector \( (X_A,X_B,X_C) \)

Entonces:

 \( P(X_B<3\cap{}X_C=0)=P(6,0,0)+P(5,1,0)+P(4,2,0) \)

Saludos.

P.D.: Es conveniente que lo revise alguien con más experiencia en multinomial.

[mathlife]

Spoiler

Hola, ¿alguien podría ayudar a hacer el siguiente problema?

Para realizar una compra de un determinado material eléctrico del que
se sabe que es defectuoso con probabilidad 0.25, se le somete a una
determinada prueba que da los resultados A,B y C, con probabilidades
0.8, 0.15 y 0.05, si el material es válido, y probabilidades 0.2, 0.3 y 0.5,
si el material es defectuoso. Si cada lote se somete a seis pruebas de
forma independiente, y se acepta para su compra si no aparece nunca el
resultado C ni más de dos veces el resultado B, calcular la probabilidad
de que un lote elegido al azar sea aceptado para su compra.

Lo que yo he hecho es lo siguiente:
\( X_A \)=Nº de veces que aparece A en 6 pruebas
\( X_B \)=Nº de veces que aparece B en 6 pruebas \( P_B=0.15·0,75+0.3·0.25=0.1875 \)
\( X_C \)=Nº de veces que aparece C en 6 pruebas \( P_C=0.05·0,75+0.3·0.5=0.1625 \)

\( X_B, X_C \) se distribuye según una multinomial de parámetros 6,0.1875,0.1625;
por tanto P(Aceptar un lote)=\( P(X_B\leq{2},X_C=0)=\displaystyle\sum_{i=0}^2{\displaystyle\frac{6!·0,1875^i·(1-0.1875-0.1625)^(6-i)}{i!(6-i)!}}=0.30008574 \)

Sin embargo, en las soluciones pone que tiene que salir 0.52.

Gracias de antemano.







Gracias de antemano.

[cerrar]

Hola mathlife, a pesar de no haber visto nunca la distribución multinomial y debido a tu petición de ayuda por privado me atrevo a responderte.
Editado:

\( X_A \)=Nº de veces que aparece A en 6 pruebas
\( X_B \)=Nº de veces que aparece B en 6 pruebas \( P_B=0.15·0,75+0.3·0.25=0.1875 \)
\( X_C \)=Nº de veces que aparece C en 6 pruebas \( P_C=0.05·0,75+\color{red}0.3\color{black}·0.5=0.1625 \)

Esto es casi correcto (lo que te marqué en rojo está mal, sería 0.25), pero creo que has aplicado mal la expresión para la probabilidad multinomial.( se te ha olvidado entre otras cosas incluir el suceso que se de el resultado A)

Según he leido aqui.
https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_multinomial



Si:\( P(X_{1}=x_{1}{\mbox{ y }}\dots {\mbox{ y }}X_{k}=x_{k})=\begin{cases} \dfrac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}} & \text{si}& \sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\0 & \text{  En otros casos}& \end{cases} \)

Sea el vector \( (X_A,X_B,X_C) \)

Entonces:

 \( P(X_B<3\cap{}X_C=0)=P(6,0,0)+P(5,1,0)+P(4,2,0) \)

Saludos.

P.D.: Es conveniente que lo revise alguien con más experiencia en multinomial.

No he incluido el suceso que se de A porque la multinomial se debe de utilizar con sucesos excluyente y no exhaustivos, si incluyese A ya los sucesos serían exhaustivos.
Con respecto al primer error, ya lo he solucionado.
Gracias.

[robinlambada]

No he incluido el suceso que se de A porque la multinomial se debe de utilizar con sucesos excluyente y no exhaustivos, si incluyese A ya los sucesos serían exhaustivos.
Con respecto al primer error, ya lo he solucionado.
Gracias.

Pero en la definición de la función de probabilidad que te he enlazado (en la wikipedia) en su fórmula se utilizan todos los sucesos, incluido el suceso A.(No dice nada de que sean o no exhautivos).

Además A,B y C son excluyentes.

A mi juicio para la distribución multinomial.
\( P(X_B<3\cap{}X_C=0)=P(6,0,0)+P(5,1,0)+P(4,2,0)=\dfrac {6!}{0!0!6!}p_{A}^6\cdot{} p_{B}^0 \cdot{}p_{C}^0+\dfrac {6!}{5!1!0!}p_{A}^5\cdot{} p_{B}^1\cdot{} p_{C}^0+ \dfrac {6!}{4!2!0!}p_{A}^4\cdot{} p_{B}^2\cdot{} p_{C}^0 \)

[mathlife]

No he incluido el suceso que se de A porque la multinomial se debe de utilizar con sucesos excluyente y no exhaustivos, si incluyese A ya los sucesos serían exhaustivos.
Con respecto al primer error, ya lo he solucionado.
Gracias.

Pero en la definición de la función de probabilidad que te he enlazado (en la wikipedia) en su fórmula se utilizan todos los sucesos, incluido el suceso A.(No dice nada de que sean o no exhautivos).

Además A,B y C son excluyentes.

A mi juicio para la distribución multinomial.
\( P(X_B<3\cap{}X_C=0)=P(6,0,0)+P(5,1,0)+P(4,2,0)=\dfrac {6!}{0!0!6!}p_{A}^6\cdot{} p_{B}^0 \cdot{}p_{C}^0+\dfrac {6!}{5!1!0!}p_{A}^5\cdot{} p_{B}^1\cdot{} p_{C}^0+ \dfrac {6!}{4!2!0!}p_{A}^4\cdot{} p_{B}^2\cdot{} p_{C}^0 \)

Pues sigue sin salir lo mismo que viene en las soluciones.

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que indica robinlambada es lo mismo que has hecho mathlife. La probabilidad del suceso A aparece en tu fórmula cuando escribes: \( (1-0.1875-0.1625)^{6-i} \)

 Entonces en mi opinión el resultado que obtienes es correcto y el \( 0.52 \) de las soluciones está mal.

Saludos.