[Michel]

Construir un trapecio isósceles circuncrito a una circunferencia de radio r, yl perímetro dado p.

[delmar]

Hola Michel

Considerando el problema resuelto adjunto 2 esquemas.

Spoiler

El trapecio es ABCD y T!,T2,T3,T4, son puntos de tangencia, observamos que si determinamos  \( \overline{A \ T1} \) , el problema esta prácticamente resuelto.Por ser puntos de tangencia se tiene
 \( \overline{A \ T4}=\overline{A \ T1}=\overline{B \ T1}=\overline{B \ T2}=l \)   por la misma razón \( \overline{D \ T4}=\overline{D \ T3}=\overline{C \ T3}=\overline{C \ T2}=m \)   esto implica \( p=4(l+m)\Rightarrow{l+m=\displaystyle\frac{p}{4}} \)

Se tiene que  \( \angle T4 \ O \ T3= \angle T4 \ A \ T1 \)  por que son ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares. El  \( \angle T4 \ O \ D \)  y el  \( \angle T4 \ A \ O \)  son las mitades  respectivas de estos ángulos, en consecuencia son iguales, eso lo muestro en el dibujo \( \angle T4 \ O \ D=\angle T4 \ A \ O= \alpha \)

Denominando \( \beta=\angle  A \ O \ T4 \)  , se tiene que  \( \alpha +\beta =90 \). Por lo tanto el triángulo AOD es recto en O, conocemos la hipotenusa \( l+m=\displaystyle\frac{p}{4} \) y la altura sobre ella r, se puede construir y de ahí derivar l y m

Construcción del triángulo AOD

Trazamos AD, es la hipotenusa \( \overline{AD}=l+m=\displaystyle\frac{p}{4} \) , luego una circunferencia cuyo diámetro sea AD, luego una paralela a AD que diste r, llamándola recta L, la intersección de esta recta con la circunferencia es el vértice O. Bajamos una perpendicular por O hacia la hipotenusa y obtenemos el punto T4 y con ello l y m

Construcción del  trapecio

Trazamos un diámetro de la circunferencia  \( \overline{T1 \  T3} \). Por T1 y por T3 trazamos rectas tangentes a la circunferencia  q1 y q3 respectivamente, serán paralelas entre sí. Localizamos el punto A y el B en la recta q1, considerando que  \( \overline{A \ T1}=\overline{B \ T1}= l  \) y por A y B trazamos  tangentes a la circunferencia, estas se intersectarán  con la recta q3 en D y  B  respectivamente.

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Saludos

[Michel]

Hola delmar.

Muy buena tu solución 

Puedes comprobar, una vez más, las ventajas de utilizar el SEPR.

Mañana enviaré la solución que yo propongo. Ya me dirás qué te parece.

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Construir un trapecio isósceles circuncrito a una circunferencia de radio r, yl perímetro dado p.

Ahí va mi solución. El problema es virtualmente idéntico a uno que pusiste en febrero (Trapecio circunscrito) y no me di cuenta hasta que completé la construcción y fuí a grabarla ¡con el mismo nombre! Bueno, pero este quedo mejor.

Spoiler

Si los lados son \( a, b, c\textrm{ y }d \), siendo \( a\textrm{ y }c \) las bases, por ser isósceles se tiene que \( d = b \). Por otra parte, por ser circunscrito debe ser \( a + c = b + d = 2b = \frac{p}{2} \), por lo que \( b = d = \frac{p}{4} \). Como ha de ser \( b, d ≥ 2r \), tenemos que debe ser \( p ≥ 8r \).


Utilizar los controles de la barra inferior para ver la construcción paso a paso.

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Saludos,