[Ignacio Larrosa]

"Construir un triángulo rectángulo dada su hipotenusa, sabiendo que la mediana correspondiente a ésta es la media proporcional de los catetos"

Spoiler

En triángulo rectángulo de catetos \( a\textrm{ y }b\textrm{ e hipotenusa }c \), la mediana \( m\textrm{ mide la mitad que }c \), pues el triángulo está inscrito en una semicircunferencia que tiene a \( c \) como diámetro. Por otra parte, el área \( S\textrm{ puede calcularse como }\dfrac{ab}{2}\textrm{ o como }\dfrac{hc}{2} \). Combinando esto con el teorema de Pitágoras, se concluye que \( h = \dfrac{c}{4} = \dfrac{m}{2} \).



Hay dos soluciones simétricas. Si se toma \( a < b \), se obtiene fácilmente que

\( a = \dfrac{\sqrt[ ]{6} - \sqrt[ ]{2}}{4} c, \;\;   b = \dfrac{\sqrt[ ]{6} + \sqrt[ ]{2}}{4} c,\;\;  S = \dfrac{c^2}{8} \)

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Saludos,