[Michel]

Por uno de los puntos de intersección A de dos circunferencias secantes O y O', trazar una secante CAD que tenga una longitud dada.

[Ignacio Larrosa]

Por uno de los puntos de intersección A de dos circunferencias secantes O y O', trazar una secante CAD que tenga una longitud dada.

Mi solución tras el spoiler,

Spoiler

Análisis: Suponiendo el problema resuelto, trazamos una secante \( CAD\textrm{. Si }B \) es el otro punto de intersección de las circunferencias, vemos que \( \angle ACB\textrm{ y }\angle ADC \) no cambian su valor con la posición de \( C\textrm{ y }D.\textrm{ Por tanto los }\triangle BCD \) son siempre semejantes. Además, el valor máximo de la secante \( CAD \) se produce cuando es perpendicular a la cuerda común \( AB,\textrm{ de manera que }\angle CAB=\angle BAD=90^\circ{} \) y los segmentos \( BC\textrm{ y }BD\textrm{ son diámetros de }c\textrm{ y }c' \) respectivamente. Hay solución si la longitud dada s es menor o igual que la de esta secante, y vendrá dada por un triángulo \( \triangle BCD\textrm{ con }CD\textrm{ de longitud }s \). La longitud máxima es \( s = 2d = 2\overline{OO'},\textrm{ puesto que }\overline{OO'}\textrm{ es en ese caso la paralela media de }\triangle BCD \).

Construcción: Dibujamos el \( \triangle BC_0D_0,\textrm{ con }\overline{C_0D_0} \perp{} \overline{AB}.\textrm{ Si }|\overline{C_0D_0}| = s \), ya tenemos la secante deseada. En caso contrario, llevamos sobre ese segmento a partir de \( C_0\textrm{ la longitud }s\textrm{ hasta el punto }F \). Trazando por \( F\textrm{ la paralela a }\overline{D_0B} \), tenemos el triángulo semejante que buscamos. La longitud de \( \overline{C_0G}\textrm{ será la misma que la }\overline{BC}\textrm{ de nuestra solución (y la }\overline{GF}\textrm{ igual a la }\overline{BD}) \). Trazando una circunferencia de centro \( B\textrm{ y radio }\overline{C_0G} \), cortará en dos puntos \( C\textrm{ y }C'\textrm{ a }c,\textrm{ puesto que }\overline{C_0G} \) es menor que el diámetro de \( c.\textrm{ Las rectas }CA\textrm{ y }C'A \) vuelven a cortar a la circunferencia \( c'\textrm{ en }D\textrm{ y }D' \) completando la solución.

Discusión: Si \( s = 2d \) hay una sola solución; si \( s < 2d \) hay dos. El punto \( A\textrm{ puede o no estar en los segmentos }\overline{CD}\textrm{ y }\overline{C'D'} \). Lo estará en las dos soluciones, una o ninguna dependiendo de que \( s \) sea mayor que las dos cuerdas por \( A \) de cada circunferencia tangentes a la otra, que solo de una de ellas, o bien que de ninguna.

Pueden cambiarse la longitud \( s \) de la secante y la posición de los puntos de corte \( A\textrm{ y }B\textrm{ y los centros }O\textrm{ y }O' \), así como la posición del punto \( C \) cuando está marcada la casilla 'Análisis'.

[cerrar]

Saludos,

[Michel]

Supongamos el problem resuelto, siendo
CAD le secante pedida, tal que CD=d, longitud dada,
 
 Sean E y F los puntos medios de las cuerdas CA y AD; será EF=d/2. Trazamos OE y O'F.

Si trazamos O'G=d/2 paralela a CD, se forma el triángulo rectángulo OGO', con O'G=EF=d/2-, que se construye trazando la semicircunferencia de diámetro OO' y un aeco de radio d/2 y centro O'.

La paralela a O'G por A es la secante pedida.

[Ignacio Larrosa]

Supongamos el problem resuelto, siendo
CAD le secante pedida, tal que CD=d, longitud dada,
 
 Sean E y F los puntos medios de las cuerdas CA y AD; será EF=d/2. Trazamos OE y O'F.

Si trazamos O'G=d/2 paralela a CD, se forma el triángulo rectángulo OGO', con O'G=EF=d/2-, que se construye trazando la semicircunferencia de diámetro OO' y un aeco de radio d/2 y centro O'.

La paralela a O'G por A es la secante pedida.

Si, esa construcción es equivalente a la mía. La segunda solución se obtiene trazando el arco de radio d/2 con centro en O.

Saludos,