[Michel]

Dadas dos circunferencias que se cortan en A y B, trazar por A una secante CAD (C en la circunferencia O y D en la O') que sea dividida en una razón dada.

[Michel]

Supongamos el problema resuelto, siendo CAD la secante pedida, tal que CA/AD=m/n, una razón dada.

Sean E y F los puntos medios de las cuerdas CA y AD, unimos con los centros O y O' de las circunferencias dadas.

Sea G un punto del segmento OO', tal que OG/GO'=m/n.

Se traza el segmento GA y la perpendicular a este segmento por A.

Teniendo en cuenta el teorema de Thales, se explica la construcción, parieindo de los datos, circunferencias y razón,

1. Determinar el punto G como se dice antes.

2. Segmento GA y perpendiculñar citada.

La intersección de esta recta con las circunferencias determina los puntos C y D.

[Ignacio Larrosa]

Mi solución:


Desplazar A' en el segmento inferior para modificar la razón k.

El punto C debe ser el transformado del punto D en una homotecia de centro A y razón -k. Por tanto debe estar en la intersección, distinta de A, de la circunferencia c y la transformada de la circunferencia c'.

Para hallar esta circunferencia transformada con regla y compás, se halla el transformado de su centro, que debe estar en la recta \( AO' \). Para ello se traza otra recta por A y se llevan sobre ella en sentidos contrarios segmentos \( C_1A\textrm{ y }AD_1 \) que estén en la proporción k. Se une \( D_1\textrm{ con }O' \) y se traza la paralela a esa recta por el punto \( C_1. \)

El punto E en que ésta última corta a AO' es tal que los segmentos EA y AO' están en la razón k, por lo que la circunferencia de centro E y que pasa por A es la transformada de c'. El punto C es el de corte de ésta última circunferencia y c, y el punto D se determina intersecando la recta CA con la circunferencia c'.

La construcción no vale para circunferencias tangentes (A y B confundidos en un solo punto).