Tenemos \( \mathbb{N} \) . \( \mathbb{N} \) es un conjunto infinito, pero gracias al axioma de infinitud y a otros axiomas yo puedo determinar cualquier \( n\in{\mathbb{N}} \) mediante un procedimiento de recursión (definido en ZF) a partir de \( \emptyset \)
Existe también la fórmula \( \overline{\mathbb{N}} \) .
Supongo que te refieres a la fórmula \( n\notin \mathbb N \).
Tengo un criterio para saber qué es lo que le pertenece y qué es lo que no le pertenece, pero no puedo determinar el orden (la posición) de cada elemento de esa supuesta colección.
No sé si le estás dando una importancia excesiva al orden. En cierto sentido, podrías decir lo mismo de \( \mathbb P\mathbb N \), o, mejor aún, de \( \mathbb P\mathcal P\mathbb N \), donde no tienes definida ninguna relación de orden en particular, lo cual no impide que sea un conjunto.
No puedo definirlo tampoco de forma positiva por especificación y entiendo que por ningún otro axioma en ZF: Luego no es un conjunto. Hasta aquí creo que vamos a estar deacuerdo.
Sí, pero no es que no sea un conjunto porque no sepas cómo definirlo. No es un conjunto porque puedes demostrar que no lo es. Si \( \overline{\mathbb N} \) fuera un conjunto, también lo sería \( V=\mathbb N\cup \overline{\mathbb N} \), y ello lleva a la consabida contradicción. Es por eso por lo que podemos decir que no es un conjunto.
Tanto en ZF como en NBG hablaríamos entonces de una "clase", pero de diferente forma; si lo he entendido bien. En NBG es un objeto propio del lenguaje definido por comprensión; en ZF no.
Correcto.
En NBG representa una colección de conjuntos; pero ¿y en ZF? ¿Hasta qué punto puede decirse estrictamente en ZF que \( \overline{\mathbb{N}} \) es una "colección de conjuntos"? No es un objeto de ZF. Por la propiedad que representa la fórmula le puedo ir adjudicando conjuntos que, pegados unos con otros formen una especie de amalgama: ¿Pero forma una colección? Entiendo que estrictamente no.
Pero el caso es que toda afirmación sobre \( \overline{\mathbb N} \) tiene sentido en la medida en que siempre puede convertirse en una afirmación sobre conjuntos. Por ejemplo, puedo considerar a \( \overline{\mathbb R}\subset \overline{\mathbb N} \) como un teorema de ZF, porque, aunque, como bien dices, en ZF no existen ni \( \overline{\mathbb N} \) ni \( \overline{\mathbb R} \), lo cierto es que la inclusión \( \overline{\mathbb R}\subset \overline{\mathbb N} \) es equivalente a \( \forall x(x\notin \mathbb R\rightarrow x\notin\mathbb R) \), y eso es estrictamente una afirmación del lenguaje de ZF que no menciona nada "inexistente".
Lo que hace NBG es formalizar todas las afirmaciones que en ZF tienen sentido aunque incluyan "clases inexistentes" de tal modo que una afirmación de este tipo es demostrable en ZF (en el sentido de que se puede transformar en otra afirmación equivalente que no mencione cosas inexistentes) si y sólo si su traducción es demostrable en NBG.
Respondiendo directamente a tu pregunta: ¿forma una colección? Sí, pero precisamente usamos la palabra "colección" y no "conjunto" para indicar que nos referimos a una colección de conjuntos de la que podemos hablar con todo rigor y precisión en ZF, aunque sus elementos no son los elementos de ningún conjunto. De hecho, en este contexto, en lugar de "colección" es más preciso aún si decimos que en ZF \( \overline{\mathbb N} \) es una clase propia. Esta afirmación no es formalizable en ZF, lo que es formalizable en ZF es cualquier afirmación que involucre \( \overline{\mathbb N} \), transformándola en otra en la que no aparezca.
Otra pregunta -ya la última-. Yo tengo la clase: \( \left\{{x\,|\,x\,\,es\,\,de\,\,color\,\,rojo}\right\} \) ; que puedo definir por especificación como: \( \left\{{x\in{A}|\,x\,\,es\,\,de\,\,color\,\,rojo}\right\} \) , para \( A\equiv{\left\{{x\,|\,x\,\,tiene\,\,un\,\,color}\right\}} \) . ¿Sería un conjunto en ZF? A sus elementos es claro que tampoco puede dársele ningún tipo de orden ni construirlos de ninguna manera
Insisto en que la ordenabilidad o la constructibilidad no tienen ninguna relación con que algo sea o no un conjunto. No sé qué alcance pretendes dar a estas palabras, así que te pregunto: ¿consideras que \( \mathcal P\mathcal P\mathbb N \) es ordenable o constructible en el sentido en el que estás pensando?
En cuanto a la pregunta que formulas, es ambigua, porque en ZF no se puede hablar de colores. En otros contextos, un ejemplo con colores o sacos de patatas puede ser útil para ilustrar los conceptos de la teoría de conjuntos, a pesar de que en ZF no se puede hablar literalmente ni de lo uno ni de lo otro (sólo a través de convenios, como considerar que el 1 significa "rojo", el 2 "azul", etc.), pero en este contexto en el que estás apuntando hacia los límites de formalización de ZF, es crucial precisar si "ser rojo" hay que equipararlo con una propiedad de las que definen conjuntos o de las que no definen conjuntos.
Así pues, es imposible contestarte si no cambiamos tus ejemplos por otros reales, y la respuesta será una u otra según la elección que hagamos.
Por ejemplo, voy a cambiar "ser de color rojo" por "tener un único elemento" y "tener color" por "tener un número finito de elementos". Entonces, la clase \( \{x\mid x\mbox{ tiene un único elemento}\} \) no es un conjunto, pero no por nada relacionado con la ordenabilidad ni con la constructibilidad, sino porque puedes biyectarla con la clase de todos los conjuntos.
Lo mismo vale para \( A=\{x\mid x \mbox{ tiene un número finito de elementos}\} \), tampoco es un conjunto, y el hecho de que puedas expresar la anterior como \( \{x\in A\mid x \mbox{tiene un único elemento}\} \) no aporta nada, porque no puedes aplicarle el axioma de especificación, ya que éste requeriría que \( A \) fuera un conjunto, y no lo es.
Ahora, todo cambia si equiparamos "ser de color rojo" con "ser un conjunto finito, cuyos elementos sean finitos, cuyos elementos de sus elementos sean finitos, etc." (lo que se llama ser "hereditariamente finito"). En este caso, sucede que \( \{x\mid x \mbox{ es hereditariamente finito}\} \) sí que resulta ser un conjunto, e incluso si cambiamos "finito" por "numerable", y no sé si estos ejemplos entrarán en lo que consideras "ordenable" o "constructible".
