Hola
Determina el coeficiente de \( x^{20} \) de \( (x^6+x^7+x^8...)(x^3+x^4+ ... +x^{10}) \)
Vaya por delante que se podría razonar directamente. En ese producto los factore x^{20} aparecen exclusivamente cuando se multiplica una potencia \( x^k \) con \( k=3,4,\ldots,10 \) del segundo factor con la potencia \( x^{20-k} \) del primero. Hay \( 10-3+1=8 \) productos de este tipo. Por tanto el coeficiente es \( 8. \)
Primero simplifico la expresión a \( x^6(1+x+x^2+\color{red}\ldots+\color{black})x^3(1+x+ ... +x^7) \).
Te faltan los puntos suspensivos que he añadido en rojo...
Luego \( x^6(1+x+x^2)x^3(1+x+ ... +x^7) \) = \( x^9·(\displaystyle\frac{1}{1-x})·(\displaystyle\frac{1-x^8}{1-x}) \) = \( x^9·(1-x^8)·\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} \)
\( g \) = \( x^9·(1-x^8)·\displaystyle\sum_{n\geq{0}}^n{\displaystyle\binom{n+1}{n}x^n} \)
Toda esta parte la entiendo pero a partir de aqui me pierdo.
Ahora \( g_{11}=h_{11}-h_3=\displaystyle\binom{12}{1}·\displaystyle\binom{4}{1}=8 \)
Con \( g_{11} \) me refiero al coeficiente \( x^{11} \) de \( g \)
\( 8 \) és el coeficiente de \( x^{20} \) de \( (x^6+x^7+x^8...)(x^3+x^4+ ... +x^{10}) \)
Podrian explicarme esta parte? \( g_{11}=h_{11}-h_3=\displaystyle\binom{12}{1}·\displaystyle\binom{4}{1}=8 \). Entiendo que se quiere calcular \( g_{11} \) porque se multiplica a \( x^9 \), pero por qué \( g_{11}=h_{11}-h_3 \)?
Tienes que tener claro a qué estas llamando \( g \) y a qué estás llamando \( h \). En realidad para que tenga sentido solución que indicas con esa notación, hay que definir:
\( h=\displaystyle\binom{n+1}{n}x^n \)
\( g=(1-x^8)\color{red}h\color{black}=h-x^8\cdot h \)
y tu a su vez quieres hallar el coeficiente de \( x^{20} \) de \( x^9\cdot g \).
Entonces:
- El coeficiente de \( x^{20} \) de \( x^9\cdot g \) es el mismo que el coeficiente de grado \( 20-9=11 \) de \( g \), que llamamos \( g_{11} \).
- Por otra parte dado que g\( =h-x^8\cdot h \), es claro que \( g_{11}=h_{11}-(x^8\cdot h)_{11}=h_{11}-h_3 \).
Saludos.
CORREGIDO
