[pepeChur]

Hola.

Definimos \( \lfloor x \rfloor \) para un \( x \) real como el mayor entero menor o igual que \( x \): \( \lfloor x \rfloor = \textrm{máx}(\left\{{z : z\in{\mathbb{Z}}, z\leq{x} }\right\}) \)
Definimos \( \lceil x \rceil  \) para un \( x \) real como el menor entero mayor o igual que \( x \): \( \lceil x \rceil = \textrm{mín}(\left\{{z : z\in{\mathbb{Z}}, x\leq{z}}\right\} ) \)

Definimos la parte decimal del real \( x \) como la diferencia entre \( x \) y su piso \( \lfloor x \rfloor \). La notación es \( \left\{{x}\right\} = x - \lfloor x \rfloor \)


Tengo que demostrar lo siguiente:

1) \( \lfloor x \rfloor = n \Leftrightarrow{} n\leq{}x<n+1 \)

2) \( \lceil x \rceil = n \Leftrightarrow{} n-1 < x \leq{n},  \forall{x\in{\mathbb{R}}} \)

Supongo que no debe de ser muy complicado, pero la realidad es que no tengo ni la más mínima idea de por donde arrancar.
¿Me podrían dar una mano?

[EnRlquE]

Hola pepeChur.

 Antes de todo ¿nos podrías decir cuáles son las definiciones de \( \lfloor x\rfloor \) y \( \lceil x \rceil \) que estás usando?

Saludos,

Enrique.

[pepeChur]

Hola pepeChur.

 Antes de todo ¿nos podrías decir cuáles son las definiciones de \( \lfloor x\rfloor \) y \( \lceil x \rceil \) que estás usando?

Saludos,

Enrique.

Perdón, se me había olvidado eso. Ya lo agregué.

[feriva]

Hola. Yo lo vi anoche y me pareció muy cercano a la definición, no me atreví a decir nada. Se me ocurre que hagas \( x=q+r
  \) con \( q\in\mathbb{Z};\,\, r\in\mathbb{R}:0\leq r<1
  \).

Teniendo en cuenta que si "q" pertenece a "erre menos" también lo hace "r", o sea, indicando que tienen el mismo signo

una cosa así \( q\in\mathbb{N};\,\, r\in\mathbb{R}:0\leq r<1\,\vee q\in\mathbb{Z}^{-};\,\, r\in\mathbb{R}^{-}:0\leq|r|<1
  \)


y de ahí

\( {\color{blue}\lfloor q+r\rfloor=q}
  \)

\( {\color{blue}q\leq q+r<q+1}
  \)
...



Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

Definimos \( \lfloor x \rfloor \) para un \( x \) real como el mayor entero menor o igual que \( x \): \( \lfloor x \rfloor = \textrm{máx}(\left\{{z : z\in{\mathbb{Z}}, z\leq{x} }\right\}) \)
Definimos \( \lceil x \rceil  \) para un \( x \) real como el menor entero mayor o igual que \( x \): \( \lceil x \rceil = \textrm{mín}(\left\{{z : z\in{\mathbb{Z}}, x\leq{z}}\right\} ) \)

Definimos la parte decimal del real \( x \) como la diferencia entre \( x \) y su piso \( \lfloor x \rfloor \). La notación es \( \left\{{x}\right\} = x - \lfloor x \rfloor \)


Tengo que demostrar lo siguiente:

1) \( \lfloor x \rfloor = n \Leftrightarrow{} n\leq{}x<n+1 \)

Supón que \( \lfloor x \rfloor x=n \), es decir, \( n=\max\left\{{z : z\in{\mathbb{Z}}, z\leq{x} }\right\} \). Entonces por definición \( n\leq x \). Además como \( n \) es el máximo de tal conjunto \( n+1 \) no pertence a él y así \( n+1>x \).

2) Recíprocamente supón que \( n\leq x<n+1 \). En primer lugar como \( n\leq x \), \( n \) pertence al conjunto \( \left\{{z : z\in{\mathbb{Z}}, z\leq{x} }\right\} \). Veamos que es el máximo. Dado \( m\in \left\{{z : z\in{\mathbb{Z}}, z\leq{x} }\right\} \), se tiene que \( n+1>x\geq m \), y por tanto \( n\geq m \).

El otro es análogo.

Saludos.