[moraat]

Estudiar si los siguientes polinomios son irreducibles. en caso contrario, factorizar.

a)\(  2x^4+2x+2   \)  en Z [ x ] y Q [ x ]
b)\( x^4+x^2-1  \)  en \( Z_3 \)[ x ]

¿me podrian ayudar con estos apartados ? no se muy bien aplicar los criterios de reducciblidad.
gracias de antemano

[Fernando Revilla]

Estudiar si los siguientes polinomios son irreducibles. en caso contrario, factorizar. a)\(  2x^4+2x+2   \)  en Z [ x ] y Q [ x ]

Por el lema de Gauss, si es irreducible en \( \mathbb{Z} [x ]  \) lo es en \( \mathbb{Q} [x ]  \). Dado que el polinomio no tiene raices enteras si es reducible lo ha de ser en producto de dos polinomios cuadráticos. Plantea:

          \( 2x^4+2x+2=\left(ax^2+bx+c\right)\left(a'x^2+b'x+c'\right) \) (coeficientes enteros)

y llegarás a una contradicción.

b)\( x^4+x^2-1  \)  en \( Z_3 \)[ x ]

No tiene raíces en \( \mathbb{Z}_3 \). Mismo planteamiento.

[moraat]

no seria \( 2x^4 +2x+2  \) reducible en \(  Z[ x ]  \) pues este polinomio es igual a \( 2(x^4 +x +1 ) \) ??

[Ignacio Larrosa]

no seria \( 2x^4 +2x+2  \) reducible en \(  Z[ x ]  \) pues este polinomio es igual a \( 2(x^4 +x +1 ) \) ??

No, un polinomio P es reducible si y solo si puede descomponerse en producto de polinomios que tienen todos ellos grados menores que P. Es decir, que los factores deben tener grados mayores que cero.

Lo que si es cierto es que extraer el \( 2 \) factor común facilita el estudio de la irreducibilidad del polinomio. En este caso, las únicas raíces racionales deben tener numeradores que dividan al término independiente y denominadores que dividan al coeficiente principal, por lo que solo nos quedan los candidatos \( 1\textrm{ y }-1 \), ninguno de los cuales es una raíz. Sabemos por tanto que no tiene raíces racionales, y si puede reducirse, será como producto de factores cuadráticos (que en este caso no se puede).

Saludos,